17. La circunferencia.

 Es el lugar de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado centro de la circunferencia. Todos los segmentos de recta que van del centro a puntos de la circunferencia se llaman radios; todos ellos tienen la misma medida, llamada longitud del radio. En la figura 35(pendiente) el segmento AB es una cuerda.

     En la misma figura vemos una circunferencia cuyo centro es el punto O. La recta XY que pasa por el centro es un diámetro. Si trazamos los radios OA y OB formando ángulos iguales (α = α) con el diámetro XY, al doblar la figura según el diámetro, el radio OB viene a coincidir con OA y el punto B cae sobre A. Este razonamiento prueba que todo punto de la circunferencia, de un lado del diámetro, es simétrico de otro punto de la circunferencia, del otro lado del diámetro.

     Conclusión: Todo diámetro de una circunferencia es un eje de simetría de la curva. Además, el diámetro XY parte el arco AB en dos partes iguales y también divide en partes iguales la cuerda AB. Esto último resulta de que el punto donde se cortan la cuerda y el diámetro permanece fijo al doblar la figura, mientra que B viene a coincidir con A. Por lo tanto, al doblar la figura, la parte derecha de la cuerda AB se sobrepone a la parte izquierda de dicha cuerda, lo que dice bien que ambas partes son iguales.

     (Esto se deduce también de la propiedad fundamental del triángulo isósceles- en la figura 35(pendiente), el triángulo AOB es isósceles-. Porque, siendo OY la bisectriz del ángulo AOB, tal bisectriz es perpendicular al lado opuesto AB y lo divide en dos partes iguales).

     Dada una circunferencia de centro O, podemos imprimirle una rotación en torno del centro, sin que deje de sobreponerse a ella misma. En particular, la circunferencia queda sobre sí misma después de girar en su plano un ángulo llano = 180° en torno del centro O. Esto significa que el centro de una circunferencia es su centro de simetría.

     De la simetría con respecto al centro y a uno cualquiera de sus diámetros se infieren para la circunferencia los siguientes corolarios:

     (1) Ángulos centrales iguales abrazan arcos iguales y recíprocamente.

     (2) Arcos iguales determinan cuerdas iguales y recíprocamente.

     (3) El diámetro perpendicular a una cuerda divide la cuerda y el arco subtendido en dos partes iguales. 

     Una ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia. Pero un ángulo inscrito tiene su vértice sobre la curva y sus lados son secantes que abrazan un arco.

     Teorema: En toda circunferencia, un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central opuesto al mismo arco.

     En la figura 36(pendiente), el ángulo CAB = α es un ángulo inscrito que abraza el mismo arco BC que el ángulo central COB = ω. El triángulo CAO es isósceles y tiene por eso dos ángulos iguales: α=α. El ángulo ω es un ángulo extremo de ese triángulo y por eso ω = α + α = 2α. Se concluye que α = ω/2.

     En la figura 36(pendiente) se supone que el aldo AB del ángulo inscrito pasa por el centro O de la circunferencia, pero esta restricción puede salvarse como se ve en las figuras 37 (a) y (b) (pendientes).

     Es fácil demostrar que la tangente a la circunferencia en uno de sus puntos (punto de contacto) es perpendicular al radio en ese punto, con sólo admitir que la circunferencia tiene una tangente y sólo una en cada punto.

     En la figura 38(pendiente), la secante AB es perpendicular al radio OR: los puntos A y B son simétricos respecto del radio OR. Si la secante se desplaza hacia arriba, manteniéndose perpendicular al radio, los puntos A y B se acercan simultáneamente al punto B. En el momento mismo en que A y B coinciden con R, la secante se convierte en tangente a la circunferencia en ese punto. Conclusión: la tangente es perpendicular al radio que va del centro al punto de contacto.

     Se sigue el teorema que dice: el ángulo formado por una tangente y una cuerda, con vértices en el punto de contacto, es la mitad del ángulo central opuesto al arco que subtiende la cuerda.

     En la figura 39(pendiente), la mitad del ángulo central opuesto al arco que subtiende la cuerda RP, es ROM=ω. El ángulo que forman la tangente y la cuerda es PRT= φ. Hemos de probar que ω = φ. Ahora bien, como el radio OM es perpendicular a la cuerda RP y OR es perpendicular a la tangente RT, se sigue que:

                     α + φ = 90°=α + ω. Por lo tanto: ω = φ.

     De este teorema se sigue a su vez que la tangente RT es perpendicular al radio OR, es decir al diámetro RS, figura 39 (pendiente). Porque el diámetro RS, que es una cuerda, subtiende un ángulo de 180° y el ángulo que forman RS y RT debe ser la mitad de 180°, que es = 90°.

16. Rectas notables en el plano de un triángulo.

 Vamos a considerar cuatro clases o familias de rectas -entre las que pueden considerarse- asociadas con un triángulo y situades en su plano:

     (a) las tres bisectrices de los ángulos interiores del triángulo.

     (b) las tres mediatrices de los lados del triángulo: cada mediatriz es perpendicular a un lado en su punto medio.

     (c) las tres medianas del triángulo: cada mediana pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto.

     (d) las tres alturas del triángulo: cada altura pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto.

     En el triángulo equilátero las tres bisectrices se confunden con las tres mediatrices, con las medianas y las alturas. ¿Por qué? Lo que significa que estas cuatro clases de rectas se reducen a una sola clase, formada por tres rectas. 

      Teorema. Las tres bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo concurren en un punto I, que es el centro del círculo inscrito al triángulo, figura 33(pendiente). 

     El punto I donde se cortan la bisectriz AX del ángulo A y la bisectriz BY del ángulo B, -esquidista de los tres lados del triángulo.- Por pertenecer a la bisectriz AX, equidista de los lados AB y AC. Por pertenecer a la bisectriz BY, equidista de los lados AB y BC.- Por lo tanto, I equidista de CA y CB, y  por eso pertenece a la bisectriz CZ. Si, tomando por radio la distancia del punto I a uno de los lados del triángulo, trazamos una circunferencia con ese radio, entonces dicha circunferencia viene a ser tangente a los tres lados. Hacerlo.

     Esto significa que la circunferencia está inscrita en el triángulo o que el triángulo está circunscrito a la circunferencia.

     Teorema. Las tres mediatrices de los lados de un triángulo concurren en un punto que equidista de los tres vértices del triángulo. Ese punto O es el centro del círculo circunscrito al triángulo.

     Demostración enteramente análoga a la anterior. 

     Se puede probar también que las tres medianas concurren en un punto, llamado centroide del triángulo, y que las tres alturas concurren a su vez en el ortocentro del triángulo. 

     Para el caso de las medianas podemos hacer un razonamiento intuitivo de orden físico. Suponer que el triángulo está hecho de una fina lámina homogénea de metal, figura 34(pendiente). Si escogemos una tira muy estrecha PQ de la lámina, paralela a la base AB, el centro de gravedad de la tira PQ queda sobre la mediana CM. Y si todo el triángulo se supone formado de tiras como PQ, paralelas a la base AB, se comprende que el centro de gravedad de todo el triángulo está sobre la mediana CM. El mismo razonamiento prueba que el centro de gravedad está sobre las otras dos medianas; lo que quiere decir que las tres medianas concurren en el centro de gravedad del triángulo. Ahora bien, como el triángulo no es un ente físico, sino un ente geométrico desprovisto de masa, al supuesto centro de gravedad le llamamos simplemente centroide.

15. Lugares geométricos.

 Se llama lugar geométrico toda recta o curva definida por una propiedad común a todos sus puntos.

     Demostraremos esto: La mediatriz de un segmento de recta es el lugar de los puntos que equidistan de los extremos del segmento.

     Hemos de probar dos cosas: (1) que todo punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento, y (2) que si un punto equidista de los extremos del segmento, ese punto pertenece a la mediatriz.

     (1) Suponer que el punto M  pertenece a la mediatriz MX del segmento AB, figura 31(figura pendiente). El punto O divide al segmento AB en dos pates iguales: OA=OB. L mediatriz MX pasa por O y es perpendicular al segmento AB. Se comprende que la mediatriz es un eje de simetría del segmento AB, y al doblar la figura según MX, el punto B viene a coincidir con A y el segmento MB, a coincidir con MA. Por eso: MB=MA.

      (2) Si MB=MA entonces tenemos en la figura 31(figura pendiente) un triángulo isósceles y al trazar la bisectriz del ángulo AMB, ésta viene a ser la mediatriz del segmento AB. Ver la demostración del teorema (3), párrafo #9. La hipótesis MA=MB implica que M pertenece a la mediatriz del segmento AB.

     Demostraremos esto: La bisectriz de un ángulo es el lugar de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo. Hemos de probar dos cosas: (1) que todo punto M de la bisectriz equidista de los lados del ángulo, y (2) que todo punto M que equidista de los lados del ángulo pertenece a la bisectriz.

      (1) Suponer que el punto M pertenece a la bisectriz AX del ángulo PAQ figura 32(figura pendiente). Por hipótesis α = β. Los segmentos MP y MQ son perpendiculares a los lados AP y AQ del ángulo dado. Y se cumple:

                    α = β

                    α + φ = 90°

                    β + ω = 90°.

Por lo tanto ω = φ.

     La recta AX es también bisectriz del ángulo PMQ. Los dos triángulos APM y AMQ son iguales, por tener un lado (común) igual, AM=AM, adyacente a ángulos respectivamente iguales. Y como en triángulos iguales son iguales los lados opuestos a ángulos iguales, concluimos que MP=MQ.

     De otro modo: la bisectriz AX es un eje de simetría de la figura 32 (pendiente) porque α = β y φ = ω. Por lo tanto, al doblar la figura según AX el segmento MP viene a coincidir con MQ. Lo que significa: MP=MQ.

     (2) Suponer ahora que M equidista de los lados del ángulo, figura 32(pendiente). Por hipótesis MP=MQ. Bisectar el ángulo PMQ de modo que φ = ω. Al doblar la figura según XM, el punto P viene a caer sobre Q y la recta PA sobre QA. Lo que dice bien que XM pasa por A formando ángulos iguales, α = β. Por lo tanto, la recta XM es bisectriz del ángulo PAQ y el punto M pertenece a la bisectriz de ese ángulo.

     Otro lugar geométrico lo constituye la circunferencia, cuyos puntos tienen la propiedad común de equidistar de un punto fijo del plano, que es su centro. La circunferencia es una curva plana definida por esta propiedad: todos sus puntos están a igual distancia del centro.

Ejercicios.

      1. Decir: ¿Cuáles son las tres propiedades fundamentales que caracterizan a todos los triángulos? Enunciar con claridad los teoremas (1), (4) y (5) del texto. Nótese que los triángulos que se consideran son siempre rectilíneos.

     2. Demostrar el teorema (1): En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a 2 rectos, o sea 180°. Hacer la figura y precisar los detalles de la demostración.

     3. Demostrar el teorema (2), consecuencia de (1): En todo triángulo un ángulo externo es igual a la suma de los dos interiores que no le son adyacentes. Consecuencia del anterior: La suma de los tres ángulos externos de un triángulo vale 4 rectos, o sea 360°.

     4. En la figura 30 (a) (figura pendiente) se tiene: x=105°, c=55°. Calcular los ángulos A y B. Respuesta: B=75°, A=50°. ¿Por qué? Comprobar.

     5. Enunciar y demostrar la propiedad fundamental del triángulo isósceles: teorema (3) del texto. Hacer la figura y precisar los detalles de la demostración.

     6. En la figura 30(b) (figura pendiente), el triángulo ABC es isósceles: AB=AC. Si B=70°, contestar: ¿Cuánto miden los ángulos C y A? Respuesta: C=    ; A=40. ¿Por qué? Comprobar.

     7. En la misma figura 30(b), suponer A=48°. Contestar: ¿Cuánto miden B y C? Respuesta: B=C=   . ¿Por qué? Comprobar.

     8. Demostrar el teorema (4) del tecto; la demostración se basa en el teorema (3); pero a su vez (3) se deduce de (4). Explicar: ¿Por qué decimos que ambos teoremas son equivalentes?

     9. Demostrar el teorema (5) del texto. Contestar: ¿Puede construirse un triángulo cuyos lados midan 8, 9 y 22 metros?

     10. Demostrar el teorema que dice: En todo triángulo, a menor lado se opene menor ángulo, y recíprocamente. Hacer la figura.

     11. Corolarios de los teoremas anteriores: ¿Puede haber un triángulo con dos ángulos obtusos o con un recto y un obtuso? ¿Cómo son entre sí los ángulos de un triángulo equilátero? ¿Cuánto mide cada uno de esos ángulos?... Explicar claramente las respuestas.

    12. En todo triángulo rectángulo (que tiene un ángulo recto) los dos ángulos agudos son complementarios, suman 90°; la hipotenusa o lado opuesto al ángulo recto es el mayor lado;...

     13. Enunciar (y justificar) los tres casos de igualdad de triángulos. Ilustrar con figuras los tres casos citados.

     14. Apoyarse en los casos de igualdad de triángulos para demostrar del teorema (3) que enuncia la propiedad fundamental del triángulo isósceles, figura 22 (figura pendiente). (a) Suponer AC=BC. Si CX bisecta el ángulo C, el triángulo ABC queda descompuesto en dos triángulo iguales; de donde resulta A=B. (b) Suponer A = B. Si CX es perpendicular al lado AB, obtenemos de nuevo dos triángulos iguales; de donde resulta AC=BC.

     15. Enunciar los tres casos de semejanza de triángulos y deducir el teorema de Pitágoras (para triángulos rectángulos) que dice: ... Estudiar detenidamente el párrafo #12 del tecto.

     16. En un triángulo rectángulo ABC, con C=90°, la hipotenusa mide 13 metros; un cateto mide 5 metros. ¿Cuánto mide el otro cateto? Aplicar el teorema de Pitágoras. Respuesta: x=12 metros. Comprobar.

     17. Cuadriláteros convexos: Trate el lector de establecer o demostrar las propiedades de los paralelogramos que se mencionan en el párrafo número 13 del texto, incluyendo rectángulo y rombo.

     18. ¿Qué es un polígono convexo? ¿Cuántas diagonales pueden trazarse desde cada vértice de un polígono convexo? ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono convexo? ¿Cuál es el polígono convexo cuyos ángulos interiores suman 720°?

     19. Demostrar que los ángulos externos de todo polígono convexo suman 360°. En particular, considerar triángulos, cuadriláteros,...

     20. Contestar: ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 13 lados? ¿Cuántas tiene uno de 17 lados? ¿Qué polígono tiene doble número de diagonales que de lados? ¿Cuál tiene 25 diagonales más que lados? Comprobar las respuestas.

14. Algo sobre polígonos.

 En la figura 28 (a9 (figura pendiente) vemos una poligonal o línea quebrada. Si la poligonal se cierra tenemos un polígono, figura 28 (b) (figura pendiente).

     Un polígono convexo tiene todos sus ángulos interiores convexos (<180°). Un polígono cóncavo, como el de la figura 28 (b) (figura pendiente), tiene por lo menos un ángulo interior cóncavo (>180°). Finalmente, se llam estrellado un polígono cuyos lados se cruzan. Los polígonos de la figura 29 (figura pendiente) con cuadriláteros, porque tienen cuatro lados. El de la izquierda es covexo, el de en medio es un cóncavo y el de la derecha es estrellado.

     Se supone que el contorno de cada polígono se recorre en un sentido convenido, como en la figura 29 (figura pendiente), yendo del vértice A al vértice B, del B al C, del C al D y del D al A. Desde cada vértice se pueden trazar diagonales a los vértices restantes, excepto al anterior y al posterior. Por ejemplo, en un cuadrilátero se puede trazar solamente la diagonal AC desde el vértice A, figura 29 (figura pendiente).

     En un polígono convexo de n lados, desde cada vértice podemos trazar n-3 diagonales que descomponen el polígono en n-2 triángulos. Ilustrarlo con el cuadrilátero, donde n=4, n-3=1 diagonal; el cuadrilátero se descompone en n-2=2 triángulos. Considerar también el caso del pentágono, donde n=5 y hay desde cada vértice n-3=2 diagonales que descomponen al pentágono en n-2=3 triángulos. Hacer un dibujo para verlo.

     (1) Suma de los ángulos interiores de un polígono convexo.

     Como el polígono se descompone en n-2 triángulos, al trazar las diagonales desde uno de sus vértices, y como los ángulos interiores de cada triángulo suman 180° y los del polígono suman tanto como los de nos n-2 triánglos que lo forman, se concluye que la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados vale; 180°(n-2). Hacer la demostración detalladamente en el cado del cuadrilátero (n=4) y del pentágono (n=5).

     (2) Número de diagonales de un polígono.

     Si el polígono tiene n lados, desde cada vértice podemos trazar n-3 diagonales, y como son n los vértices, trazaremos así n(n-3) diagonales. Ahora bien, cada diagonal será trazada dos ceces (por ejemplo, del vértice A al vértice D y viceversa) lo que significa que el número real de diagonales es: n(n-3)/2.

     El mismo problema puede resolverse por análisis combinatorio, así; Los vértices del polígono son n puntos del plano, por los cuales podemos trazar n(n-1)/2 rectas (combinaciones de n puntos tomados de 2 en 2). Si descontamos los n lados del polígono, tendremos: n(n-1)/2-n = n(n-3)/2 diagonales.

     Ejemplo (1). ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 7 lados? Respuesta: Tenemos n=7, y el número de diagonales es:

     7(7-3)/2=14 diagonales.

     Ejemplo (2). ¿Cuál es el polígono que tiene 12 diagonales más que lados? Respuesta: Si el número de lados es n, el de diagonales debe ser n+12 y se tiene la ecuación:

     n(n-3)/2=n+12 por lo tanto n*n-5n-24=0.

      Raíces de esta ecuación: n=8, n=-3. La primera conviene al enunciado del problema, lo que significa que el polígono pedido es el octágono, de 8 lados, La segunda raíz debe desecharse. ¿Por qué?

     Comprobación: con n=8 las diagonales son 8(8-3)/2=20= 8+12. Hay 12 diagonales más que lados en un octágono. 

13. Cuadriláteros convexos.

 Dibujar los siguientes cuadriláteros y trazar las diagonales:

    (a) Un paralelogramo: que está formado por dos pares de lados paralelos. En todo paralelogramo son iguales los ángulos opuestos; también los lados opuestos son iguales. Cada diagonal divide al paralelogramo en dos triángulos congruentes; el punto medio de la diagonal es un centro de simetría para esos dos triángulo. Las dos diagonales se cortan en su punto medio.

     (b) Un rectángulo, que es un paralelogramo con sus cuatro ángulo rectos. Cada diagonal divide al rectángulo en dos triángulos rectángulos congruentes. Las dos diagonales tienen igual longitud.

     (c) Un rombo, que es un paralelogramo con sus cuatro lados iguales. Este tiene dos diagonales perpendiculares.

     (d) Un cuadrado, que es un paralelogramo con sus cuatro ángulos iguales y sus cuatro lados iguales. El cuadrado es (a la vez) rectángulo y rombo. Por lo tanto, tiene sus dos diagonales iguales y perpendiculares.

     Razonar sobre cada una de las figuras citadas, para convencerse de que son válidas todas las propiedades que acabamos de enunciar.

12. Teorema de Pitágoras.

 En la figura 27(figura pendiente) vemos un triángulo rectángulo ABC, cuya hipotenusa es AB. Desde el vértice C del ángulo resto, trazar la altura CH, perpendicular a la hipotenusa; de modo que el punto H divide la hipotenusa en dos segmentos aditivos, AH y HB, cuyo producto es igual al cuadrado de la altura considerada. Es decir la altura bajada sobre la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentso en que se divide a la hipotenusa.

     En símbolos: OH*OH = AH*HB

     El segmento AH es la proyección sobre la hipotenusa del cateto AC; mientras que HB es la proyección sobre la hipotenusa del cateto CB. Para estos catetos y sus proyecciones se cumple lo siguiente: la longitud de cada cateto es media proporcional entre toda la hipotenusa y su proyección sobre la propia hipotenusa.

     En símbolos: AC*AC=AB*AH

                          CB*CB=AB*HB.

     Para demostrar todo lo anterior, empecemos por notar que la latura divide al triángulo dado en dos triángulos rectángulos que son semejantes entre sí, por ser semejantes al triángulo dado. Comparemos el triángulo AHC (izquierda, figura pendiente) con el triángulo original ABC. Estos dos triángulos tienen cada uno un ángulo recto y un ´nagulo agudo común: el ángulo A. Por lo tanto, tienen igual su otro ángulo agudo: β= B. Se trata, pues, de dos triángulos semejantes. Y de igual manera se prueba (hacerlo) que el triángulo CHB (derecha, figura pendiente) es semejante al triángulo original ABC.

     En los triángulos semejantes AHC y CHB, tomar la razón o cociente de los lados homólogos, para obtener:

     AH/HC=HC/HB por lo tanto CH*CH=AH*HB.

     En los triángulos semejantes ABC y AHC, tomar la razón o cociente para obtener:

     AB/AC=AC/AH por lo tanto AC*AC=AB*AH.

     Finalmente, en los triángulos ABC y CHB, tomar la razón o cociente de los lados homólogos, para obtener:

     AB/CB=CB/HB por lo tanto CB*CB=AB*HB. 

     Hemos demostrado lo prometido. Sin dificultad podemos deducir ahora el famoso teorema de Pitágoras para el triángulo ABC, con sólo sumar miembro a miembro las dos últimas igualdades obtenidas:

     AC*AC+CB*CB=AB(AH+HB)=AB*AB por lo tanto AC*AC+CB*CB=AB*AB.

     Es decir: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

11. Semejanza de triángulos.

 Dos triángulos semejantes tienen sus ángulos respectivamente iguales, pero no necesariamente sus lados.

     Los lados opuestos a ángulos iguales se llaman lados homólogos. En dos triángulos semejantes los lados homólogos son proporcionales, como se ve en la figura 26 (figura pendiente), donde A=A', B=B', C=C'. Los lados homólogos son proporcionales.

     Los tres casos de semejanza de triángulos son:

     (1) Cuando tienen sus tres ángulos respectivamente iguales.

     (2) Cuando tienen dos lados proporcionales formando un ángulo igual.

     (3) Cuando los tres lados de uno de ellos son proporcionales a los lados del otro.

     La semejanza de figuras puede ser también directa o inversa. Y los tres casos de semejanza de triángulos se aplican indistintamente a ambos tipos de semejanza.

10. Igualdad de triángulos.

 Agreguemos a nuestra lista de axiomas las tres propisiciones que siguen, que enuncian los tres casos de igualdad o congruencia de triángulos.

     (1) Dos triángulos son iguales cuando tienen un lado igual adyacente a dos ángulos respectivamente iguales, figura 25(a) (figura pendiente).

     (2) Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados respectivamente iguales formando un ángulo igual, figura 25(b) (figura pendiente).

     (3) Dos triángulos son iguales cuando tienen sus tres lados respectivamente iguales.

     La igualdad o congruencia de dos figuras planas puede ser directa e inversa. Es directa cuando podemos mover una de ellas, sin deformarla y sin sacarla del plano, hasta hacerla coincidir son la otra. Es inversa cuando se necesita sacar una figura del plano, y voltearla sin deformarla, para llevarla a coincidir con la otra.

     Los tres casos de igualdad de triángulos se refieren indistintamente a la igualdad directa o inversa de esas figuras.

9. Propiedades del triángulo.

      De todas las propiedades que tienen los triángulos --que son muchas-- hay cinco que pueden considerarse como fundamentales, por que ellas caracterizan distintivamente a tales figuras.

     Teorema (1). En todo trángulo la suma de los ángulos interiores es igual a 2 rectos (=180°).

     En la figura 20 vemos un triángulo arbitrario ABC; las letras que designan los vértices, designan también los ángulos interiores del triángulo. 

     Por el vértice C trazar la recta auxiliar XY, paralela al lado AB del triángulo dado. Es claro que se cumple:

     α + C + β = 180° ...(1)

     Pero A = α por ser alternos internos.

            B = β  por ser alternos internos.

     Las secantes (transversales) son AC y BC, respectivamente.

     Substituir en (1) las igualdades A = α, B = β, para obtener: A + C + B = 180° (= 2 rectos).

     Teorema (2). En todo triángulo un ángulo extremo es igual a la suma de los dos interiores que no le son adyacentes.

     Corolario del anterior. Por que:

     A + B + C = 180°

           γ +  C = 180°              Conclusión: γ = A + B.

     Corolario: Los tres ángulos externos de un triángulo suman 4 rectos = 360°.

     En la figura 21 se tiene: α = B + C

                                            β = C + A

                                            γ = A + B

                   Suman: α + β + γ = 2(A + B + C) = 360°.

     Se llama triángulo isósceles el que tiene dos lados iguales, por lo menos. En particular, son isósceles los triángulos equiláteros, que tienen iguales sus tres lados.

     Teorema (3). En todo triángulo isósceles son iguales los ángulos opuestos a los lados iguales. Recíprocamente todo triángulo con dos ángulos iguales es isósceles.

     Hipótesis: en la figura 22 tenemos que  AC = BC. 

     Trazar la recta auxiliar CX que biseca el ángulo C: lo descompone en dos ángulos iguales ω = φ. Si doblamos el plano a lo largo del eje CX, como ω = φ, el lado CB viene a caer sobre el lado CA y como CA=CB, el punto B viene a coincidir con A. Análogamente, el segmento MB cae sobre MA. Lo que significa que CX es un eje de simétria del triángulo ABC. Vemos así, al doblar la figura, que el ángulo B viene a coincidir con A, lo que prueba que A = B.

     El mismo razonamiento prueba que α = 90°= β y que MB = MA. Lo que significa que el eje CX es perpendicular al lado AB y lo divide en dos partes iguales. Es la mediatriz del lado AB. 

     Se cumple la reciproca: Si A = B entonces AC = BC.

     Porque, si trazamos la perpendicular MX al lado AB, como B = A, al doblar el plano según MX, BC se sobrepone a AC. Lo que significa que el vértice C queda sobre MX y BC = AC.

     Teorema (4). En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente.

     Del teorema anterior se desprende como corolario que: si un triángulo tiene dos lados desiguales entonces tiene desiguales los ángulos opuestos y viceversa.

     Hipótesis: AC> AB (figura 23).

     Construir AB' = AB y trazar B'B para formar el triángulo auxiliar isósceles ABB', con los ángulos iguales ω = φ. En el triángulo B'BC, el ángulo ω es externo,  y por el teorema (2) se tiene: ω = C + δ. Además: B = φ + δ = ω + δ.

     Por lo tanto: B = C + 2δ por lo tanto B>C.

     Ahora es obvia la recíproca; Si B>C no puede ser AC menor o igual que AB porque sería B menor o igual que C, lo que contradice nuestra hipótesis. Es decir: Si B>C entonces AC>AB.

     Teorema (5). En todo triángulo, un lado cualquiera es menor que la suma de los otros dos lados y mayor que su diferencia.

     Basta demostrar que el mayor lado AC (figura 24) es menor que la suma de los otros dos. Como antes, construir AB' = AB. En el triángulo B'BC, el ángulo α es obtuso y por eso α > δ. Por el teorema anterior, B'C < BC. Se concluye que:

     AC (= AB' + B'C) < AB + BC.

     Falta probar ahora que el lado mediano AB (figura 24) es mayor que la diferencia de los otros dos. Pero esto es obvio, pues la desigualdad obtenida se escribe también así: AB > AC - BC.

     De los cinco teoremas demostrados se desprenden algunas consecuencias, que es importante señalar:

     Ninguna verdad empírica enuncia el teorema (1); simplemente, es consecuencia de las definiciones previas de los axiomas, particularmente del axioma 5 de euclides. El teorema (2) es corolario de (1); también la proposición que dice que la suma de los ángulos externos de un triángulo vale 360°.

     De (1) se infiere que nungún triángulo puede tener dos ángulos rectos, ni obtusos, ni uno recto y otro obtuso; porque la suma de sus ángulos interiores sería entonces mayor que 2 rectos; lo que significa que todo triángulo debe tener por lo menos, dos ángulos agudos. También se infiere de (1) que el menor ángulo de un triángulo no puede ser mayor de 60°; ni el mayor ángulo puede ser menor de 60°; por que la suma de los tres ángulos interiores resultaría ser mayor ó menor que 2 rectos.

     El teorema (4) se deduce de (3); pero a su vez (3) es corolario de (4); lo que significa que ambos teoremas son equivalentes. De ellos se infiere que todo triángulo equilátero tiene sus tres ángulos iguales; además, por (1), cada uno de esos ángulos mide 60°. Recíprocamente; si los tres ángulos de un triángulo son iguales, ese triángulo es equilátero.

     Todo triángulo rectángulo tiene un ángulo recto; los otros dos son agudos y suman un recto. Los lados que forman el ángulo recto son los catetos del triángulo considerado. El lado opuesto al ángulo recto, llamdao hipotenusa, es el mayor lado, por (4). Y por (5), la hipotenusa es menor que la suma de los catetos; pero el teorema de Pitágoras nos dice que; el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Lo demostraremos después en el árticulo 12.

 

  

8. Simetría Axial.

      La mediatriz de un segmento de recta, es perpendicular a dicho segmento y lo divide en dos partes iguales. En la figura 14 la recta RS es la mediatriz del segmento AB; por lo tanto es perpendicular al segmento; el punto M (donde la mediatriz corta al segmento) es el punto medio del segmento AB.

     Se dice también que los puntos A y B son simétricos respecto a la recta RS, que viene a ser el eje de simetría del segmento AB. En otras palabras: dos puntos son simétricos respecto a una recta, si dicha recta es la mediatriz del segmento que definen esos dos puntos.

     Obviamente, si B es el simétrico de A, entonces A es el simétrico de B.

     Todo punto del eje de simetría es simétrico de sí mismo. Por ejemplo: el punto M de la figura 14. 

     Si A no está sobre el eje de simetría, su simétrico B tampoco lo está; pero si A está sobre el eje de simetría, su simétrico es A mismo.

      Si doblamos el papel a lo largo de la recta RS y juntamos las dos caras del papel así doblado, los puntos A y B se confunden en uno solo. Aprovechando este hecho, cualquier punto P sobre la recta RS, donde se dobló el papel, si lo unimos con los puntos A y B, los segmentos que resultan son iguales: PA = PB. Es más, se ha demostrado que los ángulos α y β son iguales, lo cual se expresa diciendo que el eje de simetría es bisectriz del ángulo APB.

     Se dice que una figura tiene un eje de simetría, cuando cada punto de la figura es el simétrico (respecto del eje considerado) de otro punto de la figura. Por ejemplo, la bisectriz de un ángulo es un eje de simétria de ese ángulo. 

     Dos figuras (F) y (F'), son simétricas respecto del eje XY, si cada punto de la primera tiene por simétrico un punto de la segunda, y viceversa. Por ejemplo, los dos triángulos que vemos en la figura 15.

     Dos figuras simétricas son iguales: basta doblar el papel a lo largo del eje de simetría para hacer que las dos figuras coincidan.

 EJERCICIOS.

     1. Si una recta corta a una de dos paralelas, también corta a la otra. Por que, si nola cortara, tendríamos dos paralelas a una misma recta, pasando por un mismo punto, lo que contradice el axioma de Euclides.-Haga el lector la figura y trate los detalles.

     2. Demostrar el teorema que dice: Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí. Explicar todos los detalles hasta comprenderlos.

     3. Si el suplemento del ángulo A es 5A, decir ¿cuánto mide A? Respuesta: A=  . Si el complemento del ángulo X es 4X, decir cuánto mide X? Respuesta: X=  .

     4. Construir dos ángulos opuestos por el vértice. Si uno de ellos gira media vuelta en torno del vértice, debe ir a coincidir con el otro; lo que prueba que son iguales.

     5. En la figura 16 (figura pendiente) vemos tres rectas concurrentes. Contestar: ¿Cuánto suman los tres ángulos no-consecutivos: x, y, z? Respuesta: x+y+z=180°. ¿Por qué?

     6. En la figura 17 (figura pendiente) vemos dos ángulos adyacentes cuyo vértice es Q: los ángulos α y ω suman un llano: α + ω= 180°. Trazar las bisectrices QR y QS: demostrar que ellas forman un ángulo recto: son perpendiculares.

     7. Definir la simetría central en un plano: ¿cuándo decimos que dos puntoss, A y B, son simétricos respecto de un punto Q? ¿Cuál es el centro de simetría de esos dos puntos? ¿Cuándo decimos que una figura plana admite un centro de simetría? ¿Qué pasa si dicha figura gira 1/2 vuelta en torno de su centro de simetría? ¿Por qué decimos que el punto medio de un segmento de recta, es el centro de simetría de todo el segmento?

     8. Contestar: ¿Cuándo decimos que dos figuras,  (F) y (F'), son simétricas respecto de un centro, Q? Igualdad por razón de simetría: ¿Por qué decimos que dos figuras simétricas son iguales o congruentes? Poner ejemplos.

     9. Estudiar el teorema fundamental del paralelismo. Analizar la demostración hasta comprenderla claramente.

     10. En la figura 18 (figura pendiente) las rectas AB y CD son paralelas. Contestar: ¿Qué relación existe entre los ángulos v, x? ¿Cómo son entre sí los ángulos x, z? ¿Cuánto suman los ángulos u, v? Respuesta: (a) Los ángulos v, x son__________________________________________________.

                   (b) Se cumple x=z por ser________________________________________________.

                   (c) u + v = 180° porque__________________________________________________.

     11. Ángulos con lados paralelos, respectivamente. Demostrar que tales ángulos son iguales o suplementarios. ¿Cuándo son iguales o cuándo son suplementarios?

     12. Dibujar dos rectas perpendiculares a una tercera, y demostrar que esas dos rectas son paralelas entre sí. Explicarlo con toda claridad.

     13. Ángulos con lados perpendiculares. En la figura 19 (figura pendiente) vemos dos ángulos agudos α y β, con sus lados perpendiculares respectivamente. Demostrar que α = β.

     14. Extender el teorema anterior (y su demostración) al caso en que ambos ángulos son obtusos, siendo los lados del primero perpendiculares al segundo. ¿Qué pasa si uno de los ángulos es agudo y el otro obtuso?

     15. Definir la simetría axial en un plano y estudiar sus propiedades: puntos que son simétricos de sí mismos, igualdad por razón de simetría,... Poner ejemplos.

     16. Decir: ¿Cuántos ejes de simetría tiene dos rectas que se cortan? Dibujar esos ejes y contestar: ¿qué ángulos forman entre sí? Comparar con el ejercicio número 6.

7. Ángulos con lados perpendiculares.

      Un corolario importante del primer teorema del paralelismo dice: dos rectas perpendiculares a una tercera, son paralelas entre sí. Porque, si AB y CD son perpendiculares a la recta RS, los ángulos alternos internos, marcados en la figura 10

     son rectos y por eso son iguales. Conclusión AB y CD son paralelas. (En la figura 10 RS es secante a las rectas AB y CD).

     Se sigue el teorema que dice: Si los lados de un ángulo son perpendiculares a los de otro, ambos ángulos son iguales o suplemnetarios: son iguales si ambos son agudos u obtusos; son suplementarios si uno es agudo y el otro obtuso. 

     En la figura 11 los ángulos agudos α y β tienen sus lados respectivamente perpendiculares: los lados del ángulo α son perpendiculares a los del ángulo β. Trazar las rectas BP' y BQ', perpendicularres a BR y BS, respectivamente.

     Por el corolario anterior, BP' y AP son paralelas, también lo son BQ' y AQ. Los ángulos α1 y α son iguales por tener sus lados directamente paralelos: α1 = α.

     Vemos en la figura (verde) anterior que se cumple:

     α1 + ω = 90° (ángulo recto).

     ω + β = 90° (ángulo recto).

     α1 + ω = ω + β, por lo tanto α1 = β.

     Las igualdades α1 = α y α1 = β nos dan α = β, lo que se quería demostrar.

     Consideremos ahora la figura 12 donde el ángulo α (obtuso) tiene sus lados perpendiculares a los de β (agudo). Vamos a demostrar que α y β son suplementarios. 

     Prolongando hacia atrás el lado AP, formamos el ángulo α1 = β (demostrado antes). Como α1 y α son suplementarios, deben serlo también α y β; es decir: α + β = 180°.

     Finalmente, en la figura 13 los ángulos α y β son obtusos y tienen sus lados perpendiculares, mutuamente. Si prolongamos hacia atrás el lado AP, se forma el ángulo α1 cuyo suplemento es β (demostrado antes). Se sigue fácilmente que α = β.

6. Ángulos con lados paralelos.

      Dos rectas paralelas y orientadas en el mismo sentido, son directamente paralelas; pero si están orientadas en sentidos opuestos, son inversamente paralelas.

     Sean dos ángulos α y β con lados directamente paralelos, fig. 7. Los lados de α son paralelos directamente a los lados de β. Prolongar atrás de sus vértices los lados de ambos ángulos, para formar el nuevo ángulo φ de la figura.

     α = φ por ser correpondientes entre AY y BV.

     β = φ por ser correspondientes entre AX y BU.

     Conclusión: α = β. Son iguales dos ángulos cuyos lados son directamente paralelos.

En la figura 8 vemos doe ángulos cuyos lados son inversamente paralelos. Los lados de α son inversamente paralelos a los de β. Considerar el ángulo auxiliar φ.

     

     α = φ por ser correpondientes entre las paralelas AX y BU.

     β = φ por ser alternos internos entre las paralelas AY y BV. Conclusión: α = β. Son iguales dos ángulos cuyos lados son inversamente paralelos.

     En la fig. 9 vemos dos ángulos cuyos lados guardan paralelismo mixto. 

     Un lado α es directamente paralelo a un lado de β; pero del otro laso de α es inversamente paralelo al otro lado de β. 

     Se considera el ángulo auxiliar φ.

     α = φ por tener sus lados directamente paralelos

     β + φ = 180° por construcción de φ. 

     Conclusión: β + α = 180°. Los ángulos son suplementarios. 

 

      

5. Teorema fundamental del paralelismo.

     Cuando dos rectas AB y CD son cortadas por una secante RS, como en la figura de abajo, se forman ocho ángulos que se clasifican por parejas, como sigue:

     2 y 6, 4 y 8, 1 y 5, 3 y 7 son pares de ángulos correspondientes. 3 y 6, 4 y 5 son pares de ángulos alternos internos. 1 y 8, 2 y 7 son pares de ángulos alternos externos.

     Hemos señalado ocho pares de ángulos. Fácil es convencernos de que, si los ángulos de un par son iguales entre sí, también son iguales los ángulos de los pares restantes. Por ejemplo, la igualdad de un par de ángulos alternos internos implica la igualdad del otro par; también implica la igualda de los cuatro pares de ángulos correspondientes y la de los dos pares de alternos externos. (Tarea moral: demuéstrelo el lector).

     En la figura rosa (anterior) las rectas AB y CD pueden ser paralelas o no serlo. Pero, si las rectas son paralelas, entonces son iguales todos los pares de ángulos alternos internos y alternos externos y correspondientes. Recíprocamente: si los ángulos de un par son iguales (caso en que son iguales los de cada par) entonces las rectas son paralelas. 

     Teorema(1). Si los ángulos alternos internos son iguales, entonces las rectas son paralelas.

     Hipótesis: 3 = 6 (el ángulo en 3 es igual al ángulo en 6), por lo tanto 4 = 5 (el ángulo en 4 es igual al ángulo en 5).

     Los ángulos alternos internos son iguales.

     Sea O el punto medio del segmento PQ de la secante, comprendido entre las rectas AB y CD. Si hacemos que toda la figura gire media vuelta en su plano, en torno del punto O, por la igualdad de los ángulos alternos internos, la recta AB viene a ocupar el lugar de la recta CD y viceversa. Y la secante viene a caer invertida sobre sí misma. Lo que significa que O es un centro de simetría de la figura. Por lo tanto, si las rectas AB y CD tuvieran un punto común H a la derecha --digamos-- de la secante RS, por simetría tendrían otro punto común G --el simétrico de H-- a la izquiersa de la secante RS. Por el axioma 1, las dos rectas AB y CD serían una sola recta. Es decir: si AB y CD tienen un punto común entonces coinciden. 

     Conclusión: las rectas AB y CD son paralelas.

     Teorema (2). Si las rectas son paralelas entonces son iguales los ángulos alternos internos.

     Hipótesis: AB es paralela a CD, (figura anterior).

     Si α ≠ ω, construir α' = ω, trazando por P la recta A'B'. Como α' = ω, por el teorema anterior, A'B' es paralela a CD. Tendríamos así por el punto P dos paralelas a una misma recta CD; lo que contradice el axioma 5. Esto significa que no puede ser α ≠ ω. 

     Conclusión: α = ω: igualdad de los ángulos alternos internos.

4. Simetría central.

     Dados los puntos A y B, trazar el segmento AB cuyos extremos son esos dos puntos: el punto medio Q del segmento AB se llama centro de simetría de los puntos A y B. Estos dos puntos son simétricos, el uno del otro, respecto del punto Q.

 

     En la figura anaranjada los puntos A y B son simétricos repecto del punto Q, que es el punto medio del segmento AB. Es suficiente un giro o ratación de media vuelta en torno del centro de simetría, Q, para que el punto A pase a ocupar la posición de B, o viceversa: para que B pase a ocupar la posición de A.

     Decimos que una figura (F) admite un centro de simetría, Q, cuando cada punto de (F) tiene por simétrico otro punto de (F) respecto del centro Q. Por ejemplo: el punto medio o centro de un segmento de recta, AB, es su centro de simetría, porque todo punto del segmento tiene por simétrico otro punto del propio segmento, respecto del centro Q. Toda figura que admite un centro de simetría, se sobrepone a ella misma mediante un giro o rotación de media vuelta en torno del centro de simetría.

     Se dice que dos figuras son simétricas respecto de un centro de simetría, Q, cuando cada punto de la primera tiene por simétrico un punto de la segunda, respecto de Q. Y viceversa: cada punto de la segunda tiene por simétrico un punto de la primera, respecto de Q.

     En la figura amarilla el triángulo ABC tiene por simétrico al triángulo A'B'C'; el centro de simetría es O. Cada punto del triángulo ABC tiene por simétrico un punto del triángulo A'B'C' y viceversa. Es sificiente un giro o rotación de media vuelta en trono del centro de simetría, para que cada uno de estos triángulos vaya a sobreponerse el otro, punto por punto. Lo  que prueba que esos dos triángulos son iguales o congruentes.

     (Dos figuras se llaman iguales o congruentes cuando es posible sobreponerlas--sin deformarlas-- de modo que vengan a coicidir en todos sus puntos.)

     Dos figuras simétricas son iguales o congruentes.

     Todo punto de una recta es centro de simétria de toda la recta. Los ángulos opuestos por el vértice son simétricos respecto del vértice común, lo que prueba que dichos ángulos son iguales.

     

3. Perpendiculares y oblicuas.

     Dos rectas que se cortan forman cuatro ángulos. En la figura los ángulos A y B son adyacentes: mientras que A y C son opuesto por el vértice.

     Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Los ángulos adyacentes son suplementarios: suman 2 rectos o sea 180°. Si los 4 ángulos son todos iguales cada uno es recto (=90°), como sucede en la siguiente figura.

     Entonces la rectas son perpendiculares. Dos rectas perpendiculares se cortan formando cuatro ángulos rectos. Pero si las rectas son oblicuas forman dos pares de ángulos iguales, opuestos por el vértice; agudos los de un par y obtusos los del otro par, como se ve en la figura, amarilla, anterior. Para demostrar que los ángulos opuesto por el vértice son iguales, observamos de la figura amarilla que si ponemos:

• A + B = 180° (ángulo llano)
• B + C = 180° (ángulo llano)
• Entonces A + B = B + C, por lo tanto A = C.

 

2. Clasificación de ángulos.

       Una semi-recta que gira en torno de un punto de origen describe un ángulo. Puede suponerse también que el ángulo es la zona del plano comprendida entre dos semi-rectas que tienen un origen común. 

     Para medir ángulos, la unidad natural es el ángulo de una vuelta (=360°). El ángulo de una vuelta se divide en 360 partes iguales, cada una de las cuales viene a ser el ángulo de 1° (un grado). Queda así definido el ángulo de 1° como la 360-ava parte de una vuelta.

 

     

     El ángulo de una vuelta (o 360°). La mitad del ángulo de una vuelta es el ángulo llano (de 180°).

     La mitad del ángulo llano es el ángulo recto (de 90°).

     Un ángulo mayor que uno recto es un ángulo obtuso.

     Un ángulo menor que uno recto es águdo.

     1 vuelta = 2 llanos = 4 rectos. En el estudio de los polígonos, que veremos después, sólo se consideran ángulos menores que el de una vuelta. Estos ángulos se clasifican en comparación con el ángulo llano, como sigue:

• (a) ángulo cóncavo: mayor que un llano.
• (b) ángulo convexo: menor que un llano.

     Los ángulos convexos (menores que el ángulo llano) se clasifican en comparación con el ángulo recto, como sigue:

• (c) ángulo obtuso: mayor que un recto.
• (d) ángulo agudo: menor que un recto.                      

     En las figuras anteriores se ilustra lo dicho.

Ejercicios (tarea, moral).

     1. Contestar: ¿qué es un ángulo llano? ¿Qué es un ángulo concavo? ¿Qué es un ángulo convexo? ¿Qué es un ángulo recto? ¿Qué es un ángulo obtuso? ¿Qué ángulos miden menos que 1 recto?

     2. Contestar: ¿cuántos ángulos llanos mide el ángulo de 1 vuelta? ¿Cuántos rectos mide un llano? ¿Cuántos ángulos rectos hay en 1 vuelta?

     3. Contestar: ¿cuántos ángulos de 15° hay en un llano? ¿Cuántos ángulos de 5° contiene 1 recto? ¿Cuántos ángulos de 3° hay en 1/2 ángulo recto? ¿Cuántos ángulos de 12° hay en una vuelta?

1. Axiomas de la geometría.

 Geometría del plano

     

      Imaginamos una línea recta como teniendo extención infinita en dos sentidos opuestos. Si solamente se extiende en un sentido, tendremos una semi-recta (un rayo). 

     Un segmento de recta es la porción de recta comprendida entre dos de sus puntos, que son los extremos del segmento.

     No se definen los conceptos de punto, recta y plano (aunque si se pueden definir), pero se usan conforme a los axiomas o postulados siguientes:

• Dos puntos definen una recta: la que contiene esos dos puntos. Quiere decir que por dos puntos daos se puede siempre trazar una recta y sólo una.
• Una recta que pasa por dos puntos de un plano está totalmente contenida en ese plano.
• Toda recta contenida en un plano lo divide en dos regiones distintas, que se extienden a uno y otro lados de la recta considerada, y se caracterizan como sigue:

(a) dos puntos situados en una cualquiera de esas regiones definen un segmento totalmente contenido en dicha región:

(b) dos puntos situados en regiones opuestas definen un segmento que corta a la recta dada. 

•  Tres puntos que no están en una misma recta definen un plano: el que  contiene esos tres puntos.

•  Axioma de Euclides: Por un punto exterior a una recta se puede trazar una paralela y sólo una a dicha recta.

(Un buen ejeercicio es ilustrar con figuras los axiomas anteriores).

     Los axiomas se admiten sin demostración. De los axiomas que hemos puesto se desprenden algunas consecuencias inmediatas. Por ejemplo, del axioma del primer punto se infiere que dos rectas distintas no pueden tener sino un solo punto común o ninguno.- Dos rectas sin punto común y en un mismo plano, son paralelas.- Del axioma del segundo punto se desprende que, si una recta no está contenida en un plano, ella sólo puede encontrar al plano en un punto o en ninguno. En el segundo caso se dice que la recta es paralela al plano.

     El axioma del cuarto punto se enuncia también diciendo: Dos rectas que se cortan definen un plano, que las contiene o también así:

     Una recta y un punto ajeno a dicha recta, definen un plano que contiene a ambos. (Ejecicio: explicar ¿por qué?).

     La geometría que vamos a estudiar aquí es la Geometría Plana, es decir: geometría de las figuras que podemos trazar en un plano (también geometría Euclidiana).

     Se dice que  dos rectas del plano son paralelas cuando, por más que se prolonguen, no llegan a encontrarse. En otras palabras: son paralelas dos rectas del plano que no tienen ningún punto común.

     Esta definición presenta el inconveniente de impedir que una recta pueda ser considerada como paralela a sí misma. Por eso definimos, mejor el paralelismo, diciendo:

     "Si dos rectas tienen un punto común entonces coinciden en todos sus puntos"

     En vista de esta definición, dos rectas son paralelas en los dos casos siguientes:

(a) cuando no tienen punto común.

(b) cuando ambas se reducen a una sola.

     Se desprenden estas dos consecuencias:

(c) toda recta es paralela a sí misma.

(d) dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí.

     Esta última propiedad resulta de la definición de paralelismo y del axioma de Euclides. Porque, si dos rectas (r) y (a) son paralelas a una recta (t) y tuvieran un punto común, entonces por el axioma de Euclides, ellas serían una sola recta. Lo que significa, por la definición de paralelismo, que (r) y (s) son paralelas entre ellas.  

Introducción, notas de geometría 1, presentación.

    Aquí comienzo con este proyecto de geometría, geometría moderna o geometría plana euclidiana. En primer lugar les he puesto las notas de clases pasadas, no esperen notas muy detallas, pues en su momento el tiempo no dio para mucho, apenas para medio transcribir y subirlas, pero pueden ser de ayuda si uno cuenta con algo de tiempo para checarlas. En segundo lugar me di a la tarea de transcribir, para darle algo de difusión, un libro ya viejo que se utilizaba en la secundaria nocturna o para trabajadores (como era llamada), allá por el año 1974, de el gran maestro Francisco Zubieta Russi. A partir de la sección 1. Axiomas de geometría moderna, en adelante, sólo es una transcripción de su libro. Puede que así no se pierda su estilo y texto tan valioso. Se tiene que seguir actualizando pues aún faltan algunas partes, sobre todo lo de trigonometría. 

Como última sección agregue una pequeña discusión de la razón en que un punto divide un segmento, también iré actualizando esa parte, conforme el tiempo me vaya dando.

Espero haber comunicado, de manera adecuada, el porque de este blog. De igual manera, cualquier, observación, sugerencia o queja, puede ser enviada a mi correo, con total libertad y confianza. Aquí se los dejo:

 sumassed@ciencias.unam.mx

 Espero disfrutes estas notas, si es que te decides a leerlas.

    1. Clase 1: https://drive.google.com/file/d/1YrDE1EzBlLJp3bVkN0MobLOREpEPUuLn/view?usp=sharing

   2. Clase 2: https://drive.google.com/file/d/1lAMRBh6DyCwxcaYE84P8uszeDSOn568f/view?usp=sharing

   3. Clase 3: https://drive.google.com/file/d/1sOW4ghuV9i3EDDDVZvRmuqsEq9gkp7-p/view?usp=sharing

   4. Clase 4: https://drive.google.com/file/d/1qtR0ocvY55caED2uDpHyhXzo96QhTsCd/view?usp=sharing

   5. Clase 5: https://drive.google.com/file/d/1iXdKffTssQOUOV_pdfC4xlWa_zjluQFy/view?usp=sharing

   6. Clase 6: https://drive.google.com/file/d/1o937y-ZvIkEuDOBZaZFvpZnb1kGirY5U/view?usp=sharing

   7. Clase 7: https://drive.google.com/file/d/1SZpw07LrTBiDP0xRCvvXDBVwzU2BjOVe/view?usp=sharing

   8. Clase 8: (no hubo tema nuevo, sólo dudas de clase)

   9. Clase 9: https://drive.google.com/file/d/1FOO9BnE-Uf3PmPHEguCLefGEiYaxP_v5/view?usp=sharing

   10. Clase 10: https://drive.google.com/file/d/1PETNLrzy_itnTCyEoS9PN9CUkMrP5bDy/view?usp=sharing

   11. Clase 11: https://drive.google.com/file/d/1P_JQTsXVQcaJRFuUFVkurl7rZ2E9sdHZ/view?usp=sharing

   12. Clase 12: https://drive.google.com/file/d/1cD4IUUcCKlZNnEpG2aAFP6Wn2ZUJzLgx/view?usp=sharing

   13. Clase 13:https://drive.google.com/file/d/1l8tLu3HNEgxeOx7dIQ-ljxOqSjwCMnoY/view?usp=sharing

   14. Clase 14:https://drive.google.com/file/d/1a2XjPJ89d-PXNuNqsY3n23npBbVf3iUN/view?usp=sharing

   15. Clase 15:https://drive.google.com/file/d/1JhIyCVNZc5SX0uDQS86OAabI3xVzByV2/view?usp=sharing

   16. Clase 16: https://drive.google.com/file/d/1wV4KoBzIMIQ2VREPX_SLtf6QxhPrjlNC/view?usp=sharing

   17. Clase 17: https://drive.google.com/file/d/1IWYwVn6QbRhJI-cjRBrIb16Y7jl4onoB/view?usp=sharing

   18. Clase 18: https://drive.google.com/file/d/1Tooxop1bPqyGq9v3NjhgsZAvrohwNz2i/view?usp=sharing

   19. Clase 19: https://drive.google.com/file/d/1y8eu6umrtGKAJ0rE8bdcZRWLpHiQ0dHc/view?usp=sharing

   20. Solución del segundo examen parcial (2): https://drive.google.com/file/d/1J4TQcfpRjx8ZTwO1kEzi8onu4l5KPKNI/view?usp=sharing

   21. Clase 21: https://drive.google.com/file/d/1cDvyg3Su4VeisrbwJJIAMliBaB6BnsQh/view?usp=sharing

   22. Clase 22: https://drive.google.com/file/d/1GIID9lGoYVjk-S90F8ixX4JI5O7tL2ur/view?usp=sharing

   23. Clase 23: https://drive.google.com/file/d/1gMkbFHvQ4kNWUxEaRsCvB714Y05LGb-r/view?usp=sharing