15. Lugares geométricos.

 Se llama lugar geométrico toda recta o curva definida por una propiedad común a todos sus puntos.

     Demostraremos esto: La mediatriz de un segmento de recta es el lugar de los puntos que equidistan de los extremos del segmento.

     Hemos de probar dos cosas: (1) que todo punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento, y (2) que si un punto equidista de los extremos del segmento, ese punto pertenece a la mediatriz.

     (1) Suponer que el punto M  pertenece a la mediatriz MX del segmento AB, figura 31(figura pendiente). El punto O divide al segmento AB en dos pates iguales: OA=OB. L mediatriz MX pasa por O y es perpendicular al segmento AB. Se comprende que la mediatriz es un eje de simetría del segmento AB, y al doblar la figura según MX, el punto B viene a coincidir con A y el segmento MB, a coincidir con MA. Por eso: MB=MA.

      (2) Si MB=MA entonces tenemos en la figura 31(figura pendiente) un triángulo isósceles y al trazar la bisectriz del ángulo AMB, ésta viene a ser la mediatriz del segmento AB. Ver la demostración del teorema (3), párrafo #9. La hipótesis MA=MB implica que M pertenece a la mediatriz del segmento AB.

     Demostraremos esto: La bisectriz de un ángulo es el lugar de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo. Hemos de probar dos cosas: (1) que todo punto M de la bisectriz equidista de los lados del ángulo, y (2) que todo punto M que equidista de los lados del ángulo pertenece a la bisectriz.

      (1) Suponer que el punto M pertenece a la bisectriz AX del ángulo PAQ figura 32(figura pendiente). Por hipótesis α = β. Los segmentos MP y MQ son perpendiculares a los lados AP y AQ del ángulo dado. Y se cumple:

                    α = β

                    α + φ = 90°

                    β + ω = 90°.

Por lo tanto ω = φ.

     La recta AX es también bisectriz del ángulo PMQ. Los dos triángulos APM y AMQ son iguales, por tener un lado (común) igual, AM=AM, adyacente a ángulos respectivamente iguales. Y como en triángulos iguales son iguales los lados opuestos a ángulos iguales, concluimos que MP=MQ.

     De otro modo: la bisectriz AX es un eje de simetría de la figura 32 (pendiente) porque α = β y φ = ω. Por lo tanto, al doblar la figura según AX el segmento MP viene a coincidir con MQ. Lo que significa: MP=MQ.

     (2) Suponer ahora que M equidista de los lados del ángulo, figura 32(pendiente). Por hipótesis MP=MQ. Bisectar el ángulo PMQ de modo que φ = ω. Al doblar la figura según XM, el punto P viene a caer sobre Q y la recta PA sobre QA. Lo que dice bien que XM pasa por A formando ángulos iguales, α = β. Por lo tanto, la recta XM es bisectriz del ángulo PAQ y el punto M pertenece a la bisectriz de ese ángulo.

     Otro lugar geométrico lo constituye la circunferencia, cuyos puntos tienen la propiedad común de equidistar de un punto fijo del plano, que es su centro. La circunferencia es una curva plana definida por esta propiedad: todos sus puntos están a igual distancia del centro.