1. Axiomas de la geometría.

 Geometría del plano

     

      Imaginamos una línea recta como teniendo extención infinita en dos sentidos opuestos. Si solamente se extiende en un sentido, tendremos una semi-recta (un rayo). 

     Un segmento de recta es la porción de recta comprendida entre dos de sus puntos, que son los extremos del segmento.

     No se definen los conceptos de punto, recta y plano (aunque si se pueden definir), pero se usan conforme a los axiomas o postulados siguientes:

• Dos puntos definen una recta: la que contiene esos dos puntos. Quiere decir que por dos puntos daos se puede siempre trazar una recta y sólo una.
• Una recta que pasa por dos puntos de un plano está totalmente contenida en ese plano.
• Toda recta contenida en un plano lo divide en dos regiones distintas, que se extienden a uno y otro lados de la recta considerada, y se caracterizan como sigue:

(a) dos puntos situados en una cualquiera de esas regiones definen un segmento totalmente contenido en dicha región:

(b) dos puntos situados en regiones opuestas definen un segmento que corta a la recta dada. 

•  Tres puntos que no están en una misma recta definen un plano: el que  contiene esos tres puntos.

•  Axioma de Euclides: Por un punto exterior a una recta se puede trazar una paralela y sólo una a dicha recta.

(Un buen ejeercicio es ilustrar con figuras los axiomas anteriores).

     Los axiomas se admiten sin demostración. De los axiomas que hemos puesto se desprenden algunas consecuencias inmediatas. Por ejemplo, del axioma del primer punto se infiere que dos rectas distintas no pueden tener sino un solo punto común o ninguno.- Dos rectas sin punto común y en un mismo plano, son paralelas.- Del axioma del segundo punto se desprende que, si una recta no está contenida en un plano, ella sólo puede encontrar al plano en un punto o en ninguno. En el segundo caso se dice que la recta es paralela al plano.

     El axioma del cuarto punto se enuncia también diciendo: Dos rectas que se cortan definen un plano, que las contiene o también así:

     Una recta y un punto ajeno a dicha recta, definen un plano que contiene a ambos. (Ejecicio: explicar ¿por qué?).

     La geometría que vamos a estudiar aquí es la Geometría Plana, es decir: geometría de las figuras que podemos trazar en un plano (también geometría Euclidiana).

     Se dice que  dos rectas del plano son paralelas cuando, por más que se prolonguen, no llegan a encontrarse. En otras palabras: son paralelas dos rectas del plano que no tienen ningún punto común.

     Esta definición presenta el inconveniente de impedir que una recta pueda ser considerada como paralela a sí misma. Por eso definimos, mejor el paralelismo, diciendo:

     "Si dos rectas tienen un punto común entonces coinciden en todos sus puntos"

     En vista de esta definición, dos rectas son paralelas en los dos casos siguientes:

(a) cuando no tienen punto común.

(b) cuando ambas se reducen a una sola.

     Se desprenden estas dos consecuencias:

(c) toda recta es paralela a sí misma.

(d) dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí.

     Esta última propiedad resulta de la definición de paralelismo y del axioma de Euclides. Porque, si dos rectas (r) y (a) son paralelas a una recta (t) y tuvieran un punto común, entonces por el axioma de Euclides, ellas serían una sola recta. Lo que significa, por la definición de paralelismo, que (r) y (s) son paralelas entre ellas.