7. Ángulos con lados perpendiculares.

      Un corolario importante del primer teorema del paralelismo dice: dos rectas perpendiculares a una tercera, son paralelas entre sí. Porque, si AB y CD son perpendiculares a la recta RS, los ángulos alternos internos, marcados en la figura 10

     son rectos y por eso son iguales. Conclusión AB y CD son paralelas. (En la figura 10 RS es secante a las rectas AB y CD).

     Se sigue el teorema que dice: Si los lados de un ángulo son perpendiculares a los de otro, ambos ángulos son iguales o suplemnetarios: son iguales si ambos son agudos u obtusos; son suplementarios si uno es agudo y el otro obtuso. 

     En la figura 11 los ángulos agudos α y β tienen sus lados respectivamente perpendiculares: los lados del ángulo α son perpendiculares a los del ángulo β. Trazar las rectas BP' y BQ', perpendicularres a BR y BS, respectivamente.

     Por el corolario anterior, BP' y AP son paralelas, también lo son BQ' y AQ. Los ángulos α1 y α son iguales por tener sus lados directamente paralelos: α1 = α.

     Vemos en la figura (verde) anterior que se cumple:

     α1 + ω = 90° (ángulo recto).

     ω + β = 90° (ángulo recto).

     α1 + ω = ω + β, por lo tanto α1 = β.

     Las igualdades α1 = α y α1 = β nos dan α = β, lo que se quería demostrar.

     Consideremos ahora la figura 12 donde el ángulo α (obtuso) tiene sus lados perpendiculares a los de β (agudo). Vamos a demostrar que α y β son suplementarios. 

     Prolongando hacia atrás el lado AP, formamos el ángulo α1 = β (demostrado antes). Como α1 y α son suplementarios, deben serlo también α y β; es decir: α + β = 180°.

     Finalmente, en la figura 13 los ángulos α y β son obtusos y tienen sus lados perpendiculares, mutuamente. Si prolongamos hacia atrás el lado AP, se forma el ángulo α1 cuyo suplemento es β (demostrado antes). Se sigue fácilmente que α = β.