La mediatriz de un segmento de recta, es perpendicular a dicho segmento y lo divide en dos partes iguales. En la figura 14 la recta RS es la mediatriz del segmento AB; por lo tanto es perpendicular al segmento; el punto M (donde la mediatriz corta al segmento) es el punto medio del segmento AB.
Se dice también que los puntos A y B son simétricos respecto a la recta RS, que viene a ser el eje de simetría del segmento AB. En otras palabras: dos puntos son simétricos respecto a una recta, si dicha recta es la mediatriz del segmento que definen esos dos puntos.
Obviamente, si B es el simétrico de A, entonces A es el simétrico de B.
Todo punto del eje de simetría es simétrico de sí mismo. Por ejemplo: el punto M de la figura 14.
Si A no está sobre el eje de simetría, su simétrico B tampoco lo está; pero si A está sobre el eje de simetría, su simétrico es A mismo.
Si doblamos el papel a lo largo de la recta RS y juntamos las dos caras del papel así doblado, los puntos A y B se confunden en uno solo. Aprovechando este hecho, cualquier punto P sobre la recta RS, donde se dobló el papel, si lo unimos con los puntos A y B, los segmentos que resultan son iguales: PA = PB. Es más, se ha demostrado que los ángulos α y β son iguales, lo cual se expresa diciendo que el eje de simetría es bisectriz del ángulo APB.
Se dice que una figura tiene un eje de simetría, cuando cada punto de la figura es el simétrico (respecto del eje considerado) de otro punto de la figura. Por ejemplo, la bisectriz de un ángulo es un eje de simétria de ese ángulo.
Dos figuras (F) y (F'), son simétricas respecto del eje XY, si cada punto de la primera tiene por simétrico un punto de la segunda, y viceversa. Por ejemplo, los dos triángulos que vemos en la figura 15.
Dos figuras simétricas son iguales: basta doblar el papel a lo largo del eje de simetría para hacer que las dos figuras coincidan.
EJERCICIOS.
1. Si una recta corta a una de dos paralelas, también corta a la otra. Por que, si nola cortara, tendríamos dos paralelas a una misma recta, pasando por un mismo punto, lo que contradice el axioma de Euclides.-Haga el lector la figura y trate los detalles.
2. Demostrar el teorema que dice: Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí. Explicar todos los detalles hasta comprenderlos.
3. Si el suplemento del ángulo A es 5A, decir ¿cuánto mide A? Respuesta: A= . Si el complemento del ángulo X es 4X, decir cuánto mide X? Respuesta: X= .
4. Construir dos ángulos opuestos por el vértice. Si uno de ellos gira media vuelta en torno del vértice, debe ir a coincidir con el otro; lo que prueba que son iguales.
5. En la figura 16 (figura pendiente) vemos tres rectas concurrentes. Contestar: ¿Cuánto suman los tres ángulos no-consecutivos: x, y, z? Respuesta: x+y+z=180°. ¿Por qué?
6. En la figura 17 (figura pendiente) vemos dos ángulos adyacentes cuyo vértice es Q: los ángulos α y ω suman un llano: α + ω= 180°. Trazar las bisectrices QR y QS: demostrar que ellas forman un ángulo recto: son perpendiculares.
7. Definir la simetría central en un plano: ¿cuándo decimos que dos puntoss, A y B, son simétricos respecto de un punto Q? ¿Cuál es el centro de simetría de esos dos puntos? ¿Cuándo decimos que una figura plana admite un centro de simetría? ¿Qué pasa si dicha figura gira 1/2 vuelta en torno de su centro de simetría? ¿Por qué decimos que el punto medio de un segmento de recta, es el centro de simetría de todo el segmento?
8. Contestar: ¿Cuándo decimos que dos figuras, (F) y (F'), son simétricas respecto de un centro, Q? Igualdad por razón de simetría: ¿Por qué decimos que dos figuras simétricas son iguales o congruentes? Poner ejemplos.
9. Estudiar el teorema fundamental del paralelismo. Analizar la demostración hasta comprenderla claramente.
10. En la figura 18 (figura pendiente) las rectas AB y CD son paralelas. Contestar: ¿Qué relación existe entre los ángulos v, x? ¿Cómo son entre sí los ángulos x, z? ¿Cuánto suman los ángulos u, v? Respuesta: (a) Los ángulos v, x son__________________________________________________.
(b) Se cumple x=z por ser________________________________________________.
(c) u + v = 180° porque__________________________________________________.
11. Ángulos con lados paralelos, respectivamente. Demostrar que tales ángulos son iguales o suplementarios. ¿Cuándo son iguales o cuándo son suplementarios?
12. Dibujar dos rectas perpendiculares a una tercera, y demostrar que esas dos rectas son paralelas entre sí. Explicarlo con toda claridad.
13. Ángulos con lados perpendiculares. En la figura 19 (figura pendiente) vemos dos ángulos agudos α y β, con sus lados perpendiculares respectivamente. Demostrar que α = β.
14. Extender el teorema anterior (y su demostración) al caso en que ambos ángulos son obtusos, siendo los lados del primero perpendiculares al segundo. ¿Qué pasa si uno de los ángulos es agudo y el otro obtuso?
15. Definir la simetría axial en un plano y estudiar sus propiedades: puntos que son simétricos de sí mismos, igualdad por razón de simetría,... Poner ejemplos.
16. Decir: ¿Cuántos ejes de simetría tiene dos rectas que se cortan? Dibujar esos ejes y contestar: ¿qué ángulos forman entre sí? Comparar con el ejercicio número 6.
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