17. La circunferencia.

 Es el lugar de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado centro de la circunferencia. Todos los segmentos de recta que van del centro a puntos de la circunferencia se llaman radios; todos ellos tienen la misma medida, llamada longitud del radio. En la figura 35(pendiente) el segmento AB es una cuerda.

     En la misma figura vemos una circunferencia cuyo centro es el punto O. La recta XY que pasa por el centro es un diámetro. Si trazamos los radios OA y OB formando ángulos iguales (α = α) con el diámetro XY, al doblar la figura según el diámetro, el radio OB viene a coincidir con OA y el punto B cae sobre A. Este razonamiento prueba que todo punto de la circunferencia, de un lado del diámetro, es simétrico de otro punto de la circunferencia, del otro lado del diámetro.

     Conclusión: Todo diámetro de una circunferencia es un eje de simetría de la curva. Además, el diámetro XY parte el arco AB en dos partes iguales y también divide en partes iguales la cuerda AB. Esto último resulta de que el punto donde se cortan la cuerda y el diámetro permanece fijo al doblar la figura, mientra que B viene a coincidir con A. Por lo tanto, al doblar la figura, la parte derecha de la cuerda AB se sobrepone a la parte izquierda de dicha cuerda, lo que dice bien que ambas partes son iguales.

     (Esto se deduce también de la propiedad fundamental del triángulo isósceles- en la figura 35(pendiente), el triángulo AOB es isósceles-. Porque, siendo OY la bisectriz del ángulo AOB, tal bisectriz es perpendicular al lado opuesto AB y lo divide en dos partes iguales).

     Dada una circunferencia de centro O, podemos imprimirle una rotación en torno del centro, sin que deje de sobreponerse a ella misma. En particular, la circunferencia queda sobre sí misma después de girar en su plano un ángulo llano = 180° en torno del centro O. Esto significa que el centro de una circunferencia es su centro de simetría.

     De la simetría con respecto al centro y a uno cualquiera de sus diámetros se infieren para la circunferencia los siguientes corolarios:

     (1) Ángulos centrales iguales abrazan arcos iguales y recíprocamente.

     (2) Arcos iguales determinan cuerdas iguales y recíprocamente.

     (3) El diámetro perpendicular a una cuerda divide la cuerda y el arco subtendido en dos partes iguales. 

     Una ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia. Pero un ángulo inscrito tiene su vértice sobre la curva y sus lados son secantes que abrazan un arco.

     Teorema: En toda circunferencia, un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central opuesto al mismo arco.

     En la figura 36(pendiente), el ángulo CAB = α es un ángulo inscrito que abraza el mismo arco BC que el ángulo central COB = ω. El triángulo CAO es isósceles y tiene por eso dos ángulos iguales: α=α. El ángulo ω es un ángulo extremo de ese triángulo y por eso ω = α + α = 2α. Se concluye que α = ω/2.

     En la figura 36(pendiente) se supone que el aldo AB del ángulo inscrito pasa por el centro O de la circunferencia, pero esta restricción puede salvarse como se ve en las figuras 37 (a) y (b) (pendientes).

     Es fácil demostrar que la tangente a la circunferencia en uno de sus puntos (punto de contacto) es perpendicular al radio en ese punto, con sólo admitir que la circunferencia tiene una tangente y sólo una en cada punto.

     En la figura 38(pendiente), la secante AB es perpendicular al radio OR: los puntos A y B son simétricos respecto del radio OR. Si la secante se desplaza hacia arriba, manteniéndose perpendicular al radio, los puntos A y B se acercan simultáneamente al punto B. En el momento mismo en que A y B coinciden con R, la secante se convierte en tangente a la circunferencia en ese punto. Conclusión: la tangente es perpendicular al radio que va del centro al punto de contacto.

     Se sigue el teorema que dice: el ángulo formado por una tangente y una cuerda, con vértices en el punto de contacto, es la mitad del ángulo central opuesto al arco que subtiende la cuerda.

     En la figura 39(pendiente), la mitad del ángulo central opuesto al arco que subtiende la cuerda RP, es ROM=ω. El ángulo que forman la tangente y la cuerda es PRT= φ. Hemos de probar que ω = φ. Ahora bien, como el radio OM es perpendicular a la cuerda RP y OR es perpendicular a la tangente RT, se sigue que:

                     α + φ = 90°=α + ω. Por lo tanto: ω = φ.

     De este teorema se sigue a su vez que la tangente RT es perpendicular al radio OR, es decir al diámetro RS, figura 39 (pendiente). Porque el diámetro RS, que es una cuerda, subtiende un ángulo de 180° y el ángulo que forman RS y RT debe ser la mitad de 180°, que es = 90°.