¿Encontrar el punto medio de dos segmentos paralelos, sólo utilizando regla?

 Cuando decimos: utilizar regla, en geometría euclidiana, nos estamos refiriendo al axioma que nos dice que dos puntos distintos determinan una única recta, además de que las rectas son infinitas. Pero, ¿es posible encontrar el punto medio de dos segmentos paralelos, de diferente longitud, sólo utilizando regla? Es lo que veremos en esta entrada. De hecho lo veremos como un resultado formal. Te tocará, a tí, reflexionar para corroborar que efectivamente el resultado, que mostraremos, viene a contestar, la cuestión que nos hemos planteado, de manera efectiva y correcta.

Teorema. Si ABC es un triángulo, D, E son puntos sobre AB y CA respectivamente tales que \(DE\parallel BC\) entonces AM es la mediana por el vértice A si y sólo si AM, BE y CD concurren en el punto O.

Demostración:

\(\Rightarrow\rfloor\)

Si AM es la mediana por el vértice A entonces M es punto medio de BC, luego BC=MC, de donde:

\(\frac{BM}{MC}=1\).

Si trazamos BE, se tiene que este corta a AM en un punto que podemos llamar O.

Luego podemos trazar CO y prolongarle hasta que intersecte a AB en el punto D'. Así que por el Teorema de Ceva se tiene que:

\(\frac{AD'}{D'B}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CE}{EA}=1\), pero \(\frac{BM}{MC}=1\) (como ya habíamos comentado), entonces:

\(\frac{AD'}{D'B}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CE}{EA}=\frac{AD'}{D'B}\cdot\frac{CE}{EA}=1\), por lo tanto:

\(\frac{AD'}{D'B}=\frac{EA}{CE}\)...(1).

Por el Teorema de Thales se tiene que \(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\), pues \(DE\parallel BC\) por hipótesis.

Así que: \(\frac{AD}{DB}=\frac{EA}{CE}\), si sustituimos este valor de \(\frac{EA}{CE}\) en (1), obtenemos que:

\(\frac{AD'}{D'B}=\frac{AD}{DB}\), luego, D y D' dividen a AB en la misma razón. Por el Teorema (razón en la que un punto divide un segmento) se tiene que: D'=D. De esto podemos concluir que BE, CD y AM concurren en O. Como queríamos.

\(\Leftarrow\rfloor\)

Por hipótesis tenemos que AM, BE y CD concurren en el punto O. Así que por el Teorema de Ceva se tiene que:

\(\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CE}{EA}=1\)...(2).

Por otra parte:

Si M' es el punto medio de BC, entonces AM' es la mediana de \(\triangle ABC\) por el vértice A y como, por hipótesis, \(DE\parallel BC\), entonces:

AM', BE y CD deben de concurrir en un punto O' (acorde a la ida del Teorema que estamos demostrando, reflexiona y date cuenta que no es un razonamiento circular, es un razonamiento correcto), luego:

\(\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BM'}{M'C}\cdot\frac{CE}{EA}=1\)

y como M' es punto medio de BC entonces:

\(\frac{BM'}{M'C}=1\), de esta manera obtenemos que:

\(\frac{AD}{DB}\cdot\frac{CE}{EA}=1\Leftrightarrow \frac{CE}{EA}=\frac{DB}{AD}\),

sustituyendo este valor de \(\frac{CE}{EA}\) en (2), obtenemos que:

\(1=\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CE}{EA}=\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{DB}{AD}=\frac{BM}{MC}\), entonces:

\(\frac{BM}{MC}=1\), es decir que: BM=MC. Lo cual demuestra que M es punto medio de BC.

\(\blacksquare\)

Cabe comentar que sólo falta que tu reflexiones y te convenzas de que efectivamente hemos respondido la respuesta que nos propusimos al principio de esta entrada. Pues si consideramos dos segmentos, paralelos, de distinta longitud, por ejemplo, entonces siempre podemos conformar el triángulo ABC, de tal manera que los dos segmentos queden dentro del tríangulo, uno como base y otro paralelo a la base. Como tarea voluntaria queda pensar el caso de dos segmentos que tienen la misma lingitud.

\(\clubsuit\)