En primer lugar debemos de tener en cuenta que estamos trabajando con segmentos y magnitudes dirigidas. La dirección positiva la estamos considerando de izquierda a derecha.
En geometría euclidiana siempre es posible definir una unidad de manera arbitraria fijando un segmento que designaremos como de medida uno y en base a éste medir.
Esto se puede hacer de manera convencional y arbitraria pues no hay una longitud natural privilegiada.
Definición. Definimos por \(\gamma_{1}\) a el segmento de medida 1 dado por un segmento de extremos \(S\) y \(T\). Donde \(ST=1\).
Teorema. (Razón en la que un punto divide a un segmento). Si \(A\), \(B\) son dos puntos distintos y \(r\in \mathbb{R}\setminus\lbrace -1\rbrace\) entonces existe un único punto \(P\in\overleftrightarrow{AB}\) tal que:
\(\frac{AP}{PB}=r\).
Demostración:
Ya que \(r\in \mathbb{R}\setminus\lbrace -1\rbrace\) entonces tendremos que considerar los siguientes casos posibles:
a) \(r>0\).
b) \(-1<r<0\).
c) \(r<0\).
El caso r=0, es sencillo y queda como ejercicio.
Puesto que se trata de un teorema de existencia y unicidad debemos de comprobar dos cosas: la existencia del punto P y la unicidad de éste.
Existencia.
Caso a) \(r>0\)
Consideremos el segmento de extremos \(A\) y \(B\). Tracemos
\(C(A, r)\).
Luego elijamos un punto \(S\) sobre
\(C(A, r)\),
distinto de los puntos donde \(C(A, r)\) corte a \(\overleftrightarrow{AB}\). Tracemos \(\overleftrightarrow{AS}\) y tracemos
\(C(S, CD\).
A los puntos donde \(C(S, CD)\) corte a \(\overleftrightarrow{AS}\) le llamamos \(T\) y \(T'\).
Trazamos \(\overline{BT}\) y la paralela a \(\overline{BT}\) que pasa por \(S\). Al punto donde corte a \(\overleftrightarrow{AB}\) le llamamos \(P\).
Por el Primer Teorema de Thales tenemos que:
\(\frac{AP}{PB}=\frac{AS}{ST}\).
Pero como:
\(ST=1\) y \(AS=r\), se tiene que:
\(\frac{AP}{PB}=r\),
y esto muestra la existencia en este caso.
Caso b) \(-1<r<0\).
Si \(-1<r<0\) entonces \(1>-r>0\). Luego si hacemos \(q=-r\) entonces:
\(1>q>0\), por lo tanto:
\(\frac{1}{q}>1>0\) y entonces:
\(\frac{1}{q}-1>0\).
Tracemos \(C(B, \frac{1}{q}-1)\). Luego seleccionamos un punto sobre ésta circunferencia que sea distinta de los puntos donde corta a \(\overleftrightarrow{AB}\) y llamemósle \(S\).
Tracemos \(\overleftrightarrow{BS}\) y tracemos \(C(S, CD)\) y a los puntos donde corta a \(\overleftrightarrow{BS}\) llamemósle \(T\) y \(T'\).
Tracemos \(\overline{AS}\) y la paralela a \(\overline{AS}\) que pasa por \(T\). Al punto donde corta a \(\overline{AB}\) llamemósle \(P\).
Por el Primer Teorema de Thales tenemos que:
\(\frac{PB}{PA}=\frac{TB}{TS}=\frac{TS+SB}{TS}=\frac{TS}{TS}+\frac{SB}{TS}=1+\frac{\frac{1}{q}-1}{1}=1+\frac{1}{q}-1=\frac{1}{q}\).
Lo que es equivalente a que:
\(q=\frac{PA}{PB}\Leftrightarrow q=\frac{-AP}{PB}\Leftrightarrow -q=\frac{AP}{PB}\), luego:
\(r=\frac{AP}{PB}\).
Esto muestra la existencia también en este caso.
Caso c) \(r<-1\).
Si \(r<-1\) entonces \(r<0\), por lo que si hacemos \(r=-q\) con \(q>0\) y como \(-r=q\) entonces:
\(q>1\), por lo tanto:
\(q-1>0\).
Así que trazamos \(C(A, q-1)\).
Seleccionamos un punto \(S\) sobre \(C(A, q-1)\) que sea distinto de los puntos donde \(C(A, q-1)\) corte a \(\overleftrightarrow{AB}\) y trazamos \(\overleftrightarrow{AS}\).
Luego trazamos \(C(S, CD)\) y a los puntos donde ésta circunferencia corte a \(\overleftrightarrow{AS}\) les llamamos \(T\) y \(T'\).
Trazamos \(\overline{BS}\) y luego la paralela a \(\overline{BS}\) que pase por \(T\). Al punto donde esta paralela corte a \(\overleftrightarrow{AB}\) le llamamos \(P\).
Por el Primer Teorema de Thales tenemos que:
\(\frac{AP}{BP}=\frac{AT}{ST}=\frac{AS+ST}{ST}=\frac{AS}{ST}+\frac{ST}{ST}=\frac{AS}{ST}+1\),
por lo tanto:
\(\frac{AP}{BP}=\frac{AS}{ST}+1\), pero:
\(ST=CD=1\),
entonces:
\(\frac{AP}{BP}=AS+1\) y \(AS=q-1\), entonces:
\(\frac{AP}{BP}=q-1+1\), de donde;
\(\frac{AP}{BP}=q\) pero no olvidemos que \(q=-r\), por lo tanto:
\(\frac{AP}{BP}=-r\), de donde:
\(\frac{AP}{-PB}=-r\), por lo tanto:
\(\frac{AP}{PB}=r\),
que es lo que que queríamos y entonces también queda demostrada la existencia en este caso.
Unicidad.
Ya comprobamos que el punto \(P\) existe cualquiera que sea la razón \(r\neq -1\), ahora es necesario que nos hagamos cargo de comprobar la unicidad. Veamos.
Supongamos que \(P\) y \(Q\) son dos puntos tales que:
\(\frac{AQ}{QB}=r\), entonces como también sabemos que \(\frac{AP}{PB}=r\), se tiene que:
\(AP=rPB\)...(1) y \(AQ=rQB\)...(2).
Por el Teorema(Tres en línea) se tiene que:
\(AB+BP+PA=0\) y \(AB+BQ+QA=0\), pues \(A, B\) y \(P\) son colineales, al igual que \(A, B\) y \(Q\). De estas últimas ecuaciones obtenemos que:
\(BP+PA=-AB\) y \(BQ+QA=-AB\), equivalente a:
\(-BP-PA=AB\) y \(-BQ-QA=AB\), equivalente a:
\(PB+AP=AB\) y \(QB+AQ=AB\), de esto obtenemos que:
\(PB=AB-AP\)...(3) y \(QB=AB-AQ\)...(4).
Si sustituimos 3) en 1) y 4) en 2) obtenemos que:
\(AP=r(AB-AP)\) y \(AQ=r(AB-AQ)\), por lo tanto:
\(AP=rAB-rAP\) y \(AQ=rAB-rAQ\), entonces:
\(AP+rAP=rAB\) y \(AQ+rAQ=rAB\), entonces:
\((1+r)(AP)=rAB\) y \((1+r)AQ=rAB\), por lo tanto:
\(AP=\frac{rAB}{1+r}\) y \(AQ=\frac{rAB}{1+r}\),
puesto que \(r>0\), \(-1<r<0\) ó \(r<-1\) entonces \(r+1\) nunca es cero y los cocientes están bien definidos, por lo tanto:
\(AP=AQ\), luego:
\(P=Q\)
y así queda demostrada la unicidad.
\(\blacksquare\)
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