Razón en la que cualquier número real r≠−1 divide a un segmento

Si consideramos un segmento AB éste puede ser divido en cualquier razón tanto positiva como negativa (siempre que $r\ne -1$). Así que consideremos un punto P en el segmento. Debemos tener tres casos posibles que se analizarán con detalle.

Caso 1. El punto P se encuentra dentro del segmento.

En este caso P puede coincidir con los extremos del segmento o puede coincidir con el punto medio del segmento. Si P coincide con el punto medio del segmento AB entonces:

$\frac{AP}{PB}$=1.

Si P coincide con A se tiene que:

$\frac{AP}{PB}$=0.

P no puede coincidir con B porque el denominador se anularía, lo que daría como resultado una fracción indeterminada.

Considerando los tres casos posibles se tiene que si $r=\frac{AP}{PB}$ entonces:

$0\le r\le 1$ o $1<r$ cuando P$\in AB$  y $P\ne B$ forzosamente.

Caso 2. P está fuera de AB del lado del extremo A.

Puesto que ya vimos que $\frac{AP}{PB}=0$ siempre que $P=A$ entonces entonces queda analizar qué pasa cuando P se aleja de A (fuera del segmento AB). En este caso se tiene que $|PB|>|AP|$, de donde:

$1>\frac{|AP|}{|PB|}$, si y sólo si, $1>|\frac{AP}{PB}|$, si y sólo si, $1>\frac{AP}{PB}>-1$. Luego como P se encuentra fuera de AB entonces $\frac{AP}{PB}<0$. De donde:

$-1<\frac{AP}{PB}<0$.

Caso 3. P está fuera del segmento AB más allá del extremo B.

En este caso también tenemos que: $|AP|>|PB|$, de donde: 

$\frac{|AP|}{|PB|}>1$ o equivalentemente que $\frac{AP}{PB}>1$ o $\frac{AP}{PB}<-1$.