12. Teorema de Pitágoras.

 En la figura 27(figura pendiente) vemos un triángulo rectángulo ABC, cuya hipotenusa es AB. Desde el vértice C del ángulo resto, trazar la altura CH, perpendicular a la hipotenusa; de modo que el punto H divide la hipotenusa en dos segmentos aditivos, AH y HB, cuyo producto es igual al cuadrado de la altura considerada. Es decir la altura bajada sobre la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentso en que se divide a la hipotenusa.

     En símbolos: OH*OH = AH*HB

     El segmento AH es la proyección sobre la hipotenusa del cateto AC; mientras que HB es la proyección sobre la hipotenusa del cateto CB. Para estos catetos y sus proyecciones se cumple lo siguiente: la longitud de cada cateto es media proporcional entre toda la hipotenusa y su proyección sobre la propia hipotenusa.

     En símbolos: AC*AC=AB*AH

                          CB*CB=AB*HB.

     Para demostrar todo lo anterior, empecemos por notar que la latura divide al triángulo dado en dos triángulos rectángulos que son semejantes entre sí, por ser semejantes al triángulo dado. Comparemos el triángulo AHC (izquierda, figura pendiente) con el triángulo original ABC. Estos dos triángulos tienen cada uno un ángulo recto y un ´nagulo agudo común: el ángulo A. Por lo tanto, tienen igual su otro ángulo agudo: β= B. Se trata, pues, de dos triángulos semejantes. Y de igual manera se prueba (hacerlo) que el triángulo CHB (derecha, figura pendiente) es semejante al triángulo original ABC.

     En los triángulos semejantes AHC y CHB, tomar la razón o cociente de los lados homólogos, para obtener:

     AH/HC=HC/HB por lo tanto CH*CH=AH*HB.

     En los triángulos semejantes ABC y AHC, tomar la razón o cociente para obtener:

     AB/AC=AC/AH por lo tanto AC*AC=AB*AH.

     Finalmente, en los triángulos ABC y CHB, tomar la razón o cociente de los lados homólogos, para obtener:

     AB/CB=CB/HB por lo tanto CB*CB=AB*HB. 

     Hemos demostrado lo prometido. Sin dificultad podemos deducir ahora el famoso teorema de Pitágoras para el triángulo ABC, con sólo sumar miembro a miembro las dos últimas igualdades obtenidas:

     AC*AC+CB*CB=AB(AH+HB)=AB*AB por lo tanto AC*AC+CB*CB=AB*AB.

     Es decir: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.