14. Algo sobre polígonos.

 En la figura 28 (a9 (figura pendiente) vemos una poligonal o línea quebrada. Si la poligonal se cierra tenemos un polígono, figura 28 (b) (figura pendiente).

     Un polígono convexo tiene todos sus ángulos interiores convexos (<180°). Un polígono cóncavo, como el de la figura 28 (b) (figura pendiente), tiene por lo menos un ángulo interior cóncavo (>180°). Finalmente, se llam estrellado un polígono cuyos lados se cruzan. Los polígonos de la figura 29 (figura pendiente) con cuadriláteros, porque tienen cuatro lados. El de la izquierda es covexo, el de en medio es un cóncavo y el de la derecha es estrellado.

     Se supone que el contorno de cada polígono se recorre en un sentido convenido, como en la figura 29 (figura pendiente), yendo del vértice A al vértice B, del B al C, del C al D y del D al A. Desde cada vértice se pueden trazar diagonales a los vértices restantes, excepto al anterior y al posterior. Por ejemplo, en un cuadrilátero se puede trazar solamente la diagonal AC desde el vértice A, figura 29 (figura pendiente).

     En un polígono convexo de n lados, desde cada vértice podemos trazar n-3 diagonales que descomponen el polígono en n-2 triángulos. Ilustrarlo con el cuadrilátero, donde n=4, n-3=1 diagonal; el cuadrilátero se descompone en n-2=2 triángulos. Considerar también el caso del pentágono, donde n=5 y hay desde cada vértice n-3=2 diagonales que descomponen al pentágono en n-2=3 triángulos. Hacer un dibujo para verlo.

     (1) Suma de los ángulos interiores de un polígono convexo.

     Como el polígono se descompone en n-2 triángulos, al trazar las diagonales desde uno de sus vértices, y como los ángulos interiores de cada triángulo suman 180° y los del polígono suman tanto como los de nos n-2 triánglos que lo forman, se concluye que la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados vale; 180°(n-2). Hacer la demostración detalladamente en el cado del cuadrilátero (n=4) y del pentágono (n=5).

     (2) Número de diagonales de un polígono.

     Si el polígono tiene n lados, desde cada vértice podemos trazar n-3 diagonales, y como son n los vértices, trazaremos así n(n-3) diagonales. Ahora bien, cada diagonal será trazada dos ceces (por ejemplo, del vértice A al vértice D y viceversa) lo que significa que el número real de diagonales es: n(n-3)/2.

     El mismo problema puede resolverse por análisis combinatorio, así; Los vértices del polígono son n puntos del plano, por los cuales podemos trazar n(n-1)/2 rectas (combinaciones de n puntos tomados de 2 en 2). Si descontamos los n lados del polígono, tendremos: n(n-1)/2-n = n(n-3)/2 diagonales.

     Ejemplo (1). ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 7 lados? Respuesta: Tenemos n=7, y el número de diagonales es:

     7(7-3)/2=14 diagonales.

     Ejemplo (2). ¿Cuál es el polígono que tiene 12 diagonales más que lados? Respuesta: Si el número de lados es n, el de diagonales debe ser n+12 y se tiene la ecuación:

     n(n-3)/2=n+12 por lo tanto n*n-5n-24=0.

      Raíces de esta ecuación: n=8, n=-3. La primera conviene al enunciado del problema, lo que significa que el polígono pedido es el octágono, de 8 lados, La segunda raíz debe desecharse. ¿Por qué?

     Comprobación: con n=8 las diagonales son 8(8-3)/2=20= 8+12. Hay 12 diagonales más que lados en un octágono.