Ejercicios.

      1. Decir: ¿Cuáles son las tres propiedades fundamentales que caracterizan a todos los triángulos? Enunciar con claridad los teoremas (1), (4) y (5) del texto. Nótese que los triángulos que se consideran son siempre rectilíneos.

     2. Demostrar el teorema (1): En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a 2 rectos, o sea 180°. Hacer la figura y precisar los detalles de la demostración.

     3. Demostrar el teorema (2), consecuencia de (1): En todo triángulo un ángulo externo es igual a la suma de los dos interiores que no le son adyacentes. Consecuencia del anterior: La suma de los tres ángulos externos de un triángulo vale 4 rectos, o sea 360°.

     4. En la figura 30 (a) (figura pendiente) se tiene: x=105°, c=55°. Calcular los ángulos A y B. Respuesta: B=75°, A=50°. ¿Por qué? Comprobar.

     5. Enunciar y demostrar la propiedad fundamental del triángulo isósceles: teorema (3) del texto. Hacer la figura y precisar los detalles de la demostración.

     6. En la figura 30(b) (figura pendiente), el triángulo ABC es isósceles: AB=AC. Si B=70°, contestar: ¿Cuánto miden los ángulos C y A? Respuesta: C=    ; A=40. ¿Por qué? Comprobar.

     7. En la misma figura 30(b), suponer A=48°. Contestar: ¿Cuánto miden B y C? Respuesta: B=C=   . ¿Por qué? Comprobar.

     8. Demostrar el teorema (4) del tecto; la demostración se basa en el teorema (3); pero a su vez (3) se deduce de (4). Explicar: ¿Por qué decimos que ambos teoremas son equivalentes?

     9. Demostrar el teorema (5) del texto. Contestar: ¿Puede construirse un triángulo cuyos lados midan 8, 9 y 22 metros?

     10. Demostrar el teorema que dice: En todo triángulo, a menor lado se opene menor ángulo, y recíprocamente. Hacer la figura.

     11. Corolarios de los teoremas anteriores: ¿Puede haber un triángulo con dos ángulos obtusos o con un recto y un obtuso? ¿Cómo son entre sí los ángulos de un triángulo equilátero? ¿Cuánto mide cada uno de esos ángulos?... Explicar claramente las respuestas.

    12. En todo triángulo rectángulo (que tiene un ángulo recto) los dos ángulos agudos son complementarios, suman 90°; la hipotenusa o lado opuesto al ángulo recto es el mayor lado;...

     13. Enunciar (y justificar) los tres casos de igualdad de triángulos. Ilustrar con figuras los tres casos citados.

     14. Apoyarse en los casos de igualdad de triángulos para demostrar del teorema (3) que enuncia la propiedad fundamental del triángulo isósceles, figura 22 (figura pendiente). (a) Suponer AC=BC. Si CX bisecta el ángulo C, el triángulo ABC queda descompuesto en dos triángulo iguales; de donde resulta A=B. (b) Suponer A = B. Si CX es perpendicular al lado AB, obtenemos de nuevo dos triángulos iguales; de donde resulta AC=BC.

     15. Enunciar los tres casos de semejanza de triángulos y deducir el teorema de Pitágoras (para triángulos rectángulos) que dice: ... Estudiar detenidamente el párrafo #12 del tecto.

     16. En un triángulo rectángulo ABC, con C=90°, la hipotenusa mide 13 metros; un cateto mide 5 metros. ¿Cuánto mide el otro cateto? Aplicar el teorema de Pitágoras. Respuesta: x=12 metros. Comprobar.

     17. Cuadriláteros convexos: Trate el lector de establecer o demostrar las propiedades de los paralelogramos que se mencionan en el párrafo número 13 del texto, incluyendo rectángulo y rombo.

     18. ¿Qué es un polígono convexo? ¿Cuántas diagonales pueden trazarse desde cada vértice de un polígono convexo? ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono convexo? ¿Cuál es el polígono convexo cuyos ángulos interiores suman 720°?

     19. Demostrar que los ángulos externos de todo polígono convexo suman 360°. En particular, considerar triángulos, cuadriláteros,...

     20. Contestar: ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 13 lados? ¿Cuántas tiene uno de 17 lados? ¿Qué polígono tiene doble número de diagonales que de lados? ¿Cuál tiene 25 diagonales más que lados? Comprobar las respuestas.