5. Teorema fundamental del paralelismo.

     Cuando dos rectas AB y CD son cortadas por una secante RS, como en la figura de abajo, se forman ocho ángulos que se clasifican por parejas, como sigue:

     2 y 6, 4 y 8, 1 y 5, 3 y 7 son pares de ángulos correspondientes. 3 y 6, 4 y 5 son pares de ángulos alternos internos. 1 y 8, 2 y 7 son pares de ángulos alternos externos.

     Hemos señalado ocho pares de ángulos. Fácil es convencernos de que, si los ángulos de un par son iguales entre sí, también son iguales los ángulos de los pares restantes. Por ejemplo, la igualdad de un par de ángulos alternos internos implica la igualdad del otro par; también implica la igualda de los cuatro pares de ángulos correspondientes y la de los dos pares de alternos externos. (Tarea moral: demuéstrelo el lector).

     En la figura rosa (anterior) las rectas AB y CD pueden ser paralelas o no serlo. Pero, si las rectas son paralelas, entonces son iguales todos los pares de ángulos alternos internos y alternos externos y correspondientes. Recíprocamente: si los ángulos de un par son iguales (caso en que son iguales los de cada par) entonces las rectas son paralelas. 

     Teorema(1). Si los ángulos alternos internos son iguales, entonces las rectas son paralelas.

     Hipótesis: 3 = 6 (el ángulo en 3 es igual al ángulo en 6), por lo tanto 4 = 5 (el ángulo en 4 es igual al ángulo en 5).

     Los ángulos alternos internos son iguales.

     Sea O el punto medio del segmento PQ de la secante, comprendido entre las rectas AB y CD. Si hacemos que toda la figura gire media vuelta en su plano, en torno del punto O, por la igualdad de los ángulos alternos internos, la recta AB viene a ocupar el lugar de la recta CD y viceversa. Y la secante viene a caer invertida sobre sí misma. Lo que significa que O es un centro de simetría de la figura. Por lo tanto, si las rectas AB y CD tuvieran un punto común H a la derecha --digamos-- de la secante RS, por simetría tendrían otro punto común G --el simétrico de H-- a la izquiersa de la secante RS. Por el axioma 1, las dos rectas AB y CD serían una sola recta. Es decir: si AB y CD tienen un punto común entonces coinciden. 

     Conclusión: las rectas AB y CD son paralelas.

     Teorema (2). Si las rectas son paralelas entonces son iguales los ángulos alternos internos.

     Hipótesis: AB es paralela a CD, (figura anterior).

     Si α ≠ ω, construir α' = ω, trazando por P la recta A'B'. Como α' = ω, por el teorema anterior, A'B' es paralela a CD. Tendríamos así por el punto P dos paralelas a una misma recta CD; lo que contradice el axioma 5. Esto significa que no puede ser α ≠ ω. 

     Conclusión: α = ω: igualdad de los ángulos alternos internos.