Vamos a considerar cuatro clases o familias de rectas -entre las que pueden considerarse- asociadas con un triángulo y situades en su plano:
(a) las tres bisectrices de los ángulos interiores del triángulo.
(b) las tres mediatrices de los lados del triángulo: cada mediatriz es perpendicular a un lado en su punto medio.
(c) las tres medianas del triángulo: cada mediana pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto.
(d) las tres alturas del triángulo: cada altura pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto.
En el triángulo equilátero las tres bisectrices se confunden con las tres mediatrices, con las medianas y las alturas. ¿Por qué? Lo que significa que estas cuatro clases de rectas se reducen a una sola clase, formada por tres rectas.
Teorema. Las tres bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo concurren en un punto I, que es el centro del círculo inscrito al triángulo, figura 33(pendiente).
El punto I donde se cortan la bisectriz AX del ángulo A y la bisectriz BY del ángulo B, -esquidista de los tres lados del triángulo.- Por pertenecer a la bisectriz AX, equidista de los lados AB y AC. Por pertenecer a la bisectriz BY, equidista de los lados AB y BC.- Por lo tanto, I equidista de CA y CB, y por eso pertenece a la bisectriz CZ. Si, tomando por radio la distancia del punto I a uno de los lados del triángulo, trazamos una circunferencia con ese radio, entonces dicha circunferencia viene a ser tangente a los tres lados. Hacerlo.
Esto significa que la circunferencia está inscrita en el triángulo o que el triángulo está circunscrito a la circunferencia.
Teorema. Las tres mediatrices de los lados de un triángulo concurren en un punto que equidista de los tres vértices del triángulo. Ese punto O es el centro del círculo circunscrito al triángulo.
Demostración enteramente análoga a la anterior.
Se puede probar también que las tres medianas concurren en un punto, llamado centroide del triángulo, y que las tres alturas concurren a su vez en el ortocentro del triángulo.
Para el caso de las medianas podemos hacer un razonamiento intuitivo de orden físico. Suponer que el triángulo está hecho de una fina lámina homogénea de metal, figura 34(pendiente). Si escogemos una tira muy estrecha PQ de la lámina, paralela a la base AB, el centro de gravedad de la tira PQ queda sobre la mediana CM. Y si todo el triángulo se supone formado de tiras como PQ, paralelas a la base AB, se comprende que el centro de gravedad de todo el triángulo está sobre la mediana CM. El mismo razonamiento prueba que el centro de gravedad está sobre las otras dos medianas; lo que quiere decir que las tres medianas concurren en el centro de gravedad del triángulo. Ahora bien, como el triángulo no es un ente físico, sino un ente geométrico desprovisto de masa, al supuesto centro de gravedad le llamamos simplemente centroide.
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