2.4. Ángulos

El concepto de rayo o semirrecta es fundamental para comprender la siguiente idea:

Definición. Un ángulo es la unión de dos semirrectas o rayos que parten de un vértice en común, es decir el conjunto de todos los puntos que consta de las dos semirrectas o rayos. 

A las semirrectas o rayos les llamamos lados del ángulo y al punto en común del que parten le llamamos vértice del ángulo, si por ejemplo \( \overrightarrow{OA}\) y \(\overrightarrow{OB}\) son dos rayos que parten del punto en común O, como en la imagen,

 

entonces denotamos al ángulo como \(\angle AOB\) o \(\angle BOA\). Lo que nunca se debe perder de vista es que cuando denotamos al ángulo, la letra que denota al vértice siempre debe ir entre las otras dos, de esta manera la notación se vuelve precisa. Debemos considerar también que si en los lados del ángulo seleccionamos otros puntos además de los que nos sean dados, entonces podemos denotar al ángulo, dado, de varias formas. 

y todas éstas siempre serán válidas.

Longitud

En nuestra vida cotidiana a menudo se presenta la ocasión de medir, ya sea al comprar cocinar, al cortar algo o incluso en la sencilla acción de acomodar algún mueble al ponerlo en un nuevo lugar. De manera particular podemos comenzar por considerar el acto de medir la longitud de una puerta, en este caso usamos una cinta métrica o algún otro método pero podemos darnos cuenta de que al final terminamos utilizando segmentos, entonces consideraremos la longitud de un segmento, de recta, como la forma más básica de comenzar a medir. El sentido de hacer esto también va más allá pues es en base a la longitud que podremos definir el importante concepto de congruencia desde su forma más simple. En lo que sigue describiremos como puede llevar a cabo el proceso de medir.

En primer lugar consideraremos un segmento AB y un segmento CD de tal manera que a alguno le llamaremos unidad de longitud. 

Suponiendo que elegimos a \(\overline{CD}\) como unidad, entonces en el segmento de extremos A y B marcamos los puntos \(A_{1}\), \(A_{2}\) y \(A_{3}\) comenzando en alguno de los extremos del segmento AB (comúnmente se traza el segmento de manera horizontal y se comienza a medir en el extremo izquierdo del segmento), de tal manera que \(\overline{AA_{1}}\), \(\overline{A_{1}A_{2}}\) y \(\overline{AA_{3}}\) sean congruentes con la unidad \(\overline{CD}\) que elegimos. 

2.3. Plano y semiplano

 Comencemos este apartado con una idea muy básica pero que es necesario que determinemos, es la idea de colinealidad. 

Definición. Tres o más puntos distintos, A, B y C, se dice que son colineales si no se encuentran sobre una misma recta l.

De acuerdo al Axioma 1 tenemos que dos puntos determinan una única recta. Por otra parte para determinar un plano necesitamos tres puntos distintos que no sean colineales, para poder darnos una idea más gráfica e intuitiva pensemos en el espacio tridimensional (que nos rodea) y consideremos una lámina de metal apoyada en la punta de un clavo, vemos que ésta no queda del todo estable y se mueve, luego, podemos llevar esta idea un poco más allá pensando en que en realidad por un punto pasan una cantidad infinita de planos. Después si consideramos dos puntos distintos vemos que de igual manera pasa una cantidad infinita de planos que sería viendo que la lámina, de metal, está apoyada en una recta. 

En cambio si consideramos tres puntos distintos, no colineales, queda bien definido el plano, pues teniendo en cuenta el ejemplo de la lámina de meta, cada uno de estos puntos la estabiliza en una dirección, que son las tres direcciones, necesarias en el plano tridimensional, para determinar el plano. 

Para denotar rectas también hemos utilizado la notación con dos puntos que se encuentran en ella y la recta con dos flechas arriba, para el caso de los planos, en textos básicos, se utilizan comúnmente tres puntos que hayamos marcado sobre el plano. 

Teniendo en cuenta que el orden que le demos a los puntos, al escribirlos, no tiene importancia en este caso. Algunas consideraciones que debemos tener en cuenta es que al ser el plano un subconjunto del espacio, es un conjunto de puntos además de que se extiende infinitamente en todas direcciones. Por otro lado el Axioma 3 nos dice que toda recta contenida en un plano lo divide en tres regiones distintas; la propia recta y dos regiones que se extienden a uno y otro lados de la recta considerada. Cada una de estas regiones, que se extienden infinitamente, se conocen como semiplanos. 

De manera similar podemos denotar al plano con cualesquiera tres puntos distintos, en él, que hayamos elegido o determinado.

2.2. Recta, segmento, rayo

Ya mencionamos que no existe una definición satisfactoria de línea recta (en adelante también diremos simplemente recta) sin embargo podemos tener varias consideraciones que nos permitan ampliar la idea intuitiva que ya tenemos de ella. 

En educación básica se dibujan las rectas, en el plano, mediante el uso de la regla o en algunos casos un hilo o cuerda, etcétera y aunque se puede dibujar una línea recta de esta manera, no debemos perder de vista que nuestros métodos físicos siempre serán imprecisos y la recta que tracemos siempre será sólo una representación. Debemos hacer mención que por simplicidad casi siempre diremos recta en vez de línea recta y no es correcto decir sólo línea pues línea se puede interpretar como si se hablara de cualquier curva. Por otra parte debemos tener en cuenta que cualquier recta se extiende indefinidamente en ambas direcciones, es decir que las rectas no tienen extremos, son infinitas (y así deben de considerarse siempre en la mente), aunque por razones de nuestras propias limitaciones físicas dibujamos sólo una parte finita de ellas. Luego si tenemos en cuenta un único punto A no es complicado darse cuenta que pasa una cantidad infinita de rectas. 

Entonces para referirnos a la recta que pasa por los puntos A y B también escribiremos: \(\overleftrightarrow{AB}\). En esta notación adquiere sentido la doble flecha pues nos recuerda que la recta se extiende infinitamente en ambos sentidos, aunque comúnmente en los textos avanzados no se utiliza esta notación pues se considera que el(la) estudiante ya domina dichas ideas. Luego cuando en una recta l tenemos indicados tres o mas puntos entonces se puede denotar de diferentes maneras y en cualquier caso es válido. 

En este caso tenemos que: l =\(\overleftrightarrow{AB}\)=\(\overleftrightarrow{EF}\)=\(\overleftrightarrow{GH}\).

Segmentos

Ya vimos que las rectas siempre se consideran infinitas en ambas direcciones, es decir que siempre debemos tener en cuenta que se prolongan en ambos sentidos, pero en la práctica la mayor parte del tiempo se trabaja con pedazos de recta. Determinemos bien esta idea.

Definición. Dada una recta l que pasa por los puntos distintos A y B el segmento de extremos A y B es el conjunto de todos los puntos de la recta l  que están entre A y B, incluyendo a A y a B. 

Para denotar al segmento cuyos extremos son A y B emplearemos la notación: \(\overline{AB}\).

Rayos

Si consideramos cualquier recta y un punto en ella como se muestra en la imagen 

podemos notar que el punto O divide a la recta en dos partes, luego podemos determinar también esta idea.

Definición. Dada una recta l y un punto O en l, tenemos que O divide a l en dos partes llamadas rayos, cada una de estas partes, junto con el punto O, recibe el nombre de semirrecta o rayo, a O se le llama vértice del rayo. 

Para poder denotar un rayo seleccionamos otro punto distinto de O que se encuentra en el rayo, por ejemplo podemos nombrar, de manera aleatoria, un punto B y de esta manera denotamos el rayo por: \(\overrightarrow{OB}\). 

Si sobre ese mismo rayo marcamos varios puntos distintos, del vértice O, podemos denotar el rayo de diferentes maneras. En la siguiente imagen tenemos que: \(\overrightarrow{OB}\)=\(\overrightarrow{OA}\)=\(\overrightarrow{OD}\). 

Un aspecto importante, que no debemos dejar de lado, es que si tenemos una recta l y dos puntos distintos O y P en l, entonces el rayo \(\overrightarrow{OP}\) es distinto del rayo \(\overrightarrow{PO}\) pues en \(\overrightarrow{OP}\) se entiende que el vértice (o punto de partida) del rayo es O y en \(\overrightarrow{PO}\) el vértice (o punto de partida) es P. 

2.1. Axiomas, notación y fundamentos

 Como ya mencionamos, en la introducción, no existe una definición aceptable de los objetos básicos que manejaremos: punto, recta y plano, para trabajar, con estos objetos de manera adecuada, se hace de manera intuitiva y apelando a la idea que tengamos de ellos, pues se considera que ya antes se ha trabajado con ellos de alguna manera en la educación básica o intermedia. 

Respecto de la notación, que tendremos en cuenta, es la siguiente:

• Los puntos los denotaremos por A, B, C, etc.
• Las rectas las denotaremos por n, m, l o con subíndices como: \(l_{1}\), \(l_{2}\), \(l_{3}\), etc.
• La circunferencia de centro en el punto O y radio r la denotaremos por C(O, r).
• Para los ángulos utilizaremos letras griegas (o latinas): \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), ... (a, b, c,...) o notación con subíndices: \(\alpha_{1}\), \(\alpha_{2}\), \(\alpha_{3}\), ..., (\(a_{1}\), \(a_{2}\), \(a_{3}\), ...,).

Cabe hacer hincapié en que la notación será mucho más amplia ya que a lo largo de este curso iremos introduciendo más conceptos y en su momento describiremos la notación utilizada. Los 5 axiomas de los que partiremos y que consideraremos, a lo largo de este curso, son los siguientes:

• Axioma 1. Dos puntos distintos definen una única línea recta. 
  
  
  
• Axioma 2. Una línea recta que pasa por dos puntos distintos de un plano está contenida en ese plano.
• Axioma 3. Toda recta contenida en un plano lo divide en tres regiones distintas: la propia recta y dos regiones que se extienden a uno y otro lados de la recta considerada, éstas se llaman semiplanos. 
  
  
  
• Axioma 4. Tres puntos que no están en una misma recta definen un único plano. 
  
  
  

Axioma 5. Si una recta n corta a dos rectas l y m de tal manera que la suma de las medidas de los ángulos (\(a_{1}\), \(a_{2}\)) que se encuentran del mismo lado respecto de n y entre l y m es menor que la suma de las medidas de dos ángulos rectos entonces las rectas l y m se encontrarán del mismo lado de donde se encuentran éstos ángulos. 

En ningún momento debemos de perder de vista que los axiomas, que acabamos de enunciar, son proposiciones que se admiten sin demostración y puesto que estamos considerando al plano como un conjunto de puntos, entonces las figuras geométricas al ser subconjuntos del plano son conjuntos de puntos, es importante tener esto en cuenta pues facilita la comprensión de cuestiones geométricas específicas como por ejemplo determinar un conjunto de puntos que cumplan ciertas condiciones, entre otras cosas.

Fácilmente podemos visualizar figuras geométricas pues, en casi cualquier objeto que observemos encontramos líneas, líneas rectas, superficies, superficies planas, cuerpos sólidos. Un ejercicio sencillo que podemos realizar es observar objetos en nuestra habitación y considerar el plano determinado por el piso de la habitación o la recta determinada por alguno de los contornos de la puerta, lo interesante es ver que en realidad casi siempre estamos rodeados de formas, colores, texturas, etc.

2. Preliminares

 La teoría que tratamos en geometría euclidiana está conformada por proposiciones que se deducen o infieren mediante el proceso que llamamos demostración. Antes de comenzar a demostrar debemos tener en cuenta que en la base de todo, este proceso, se encuentran los axiomas, éstos son proposiciones que conforman nuestro punto de partida y se admiten sin demostración, son como las reglas del juego que no podemos romper.

Luego existe otro tipo de proposiciones que sirven para introducir términos o vocabulario que nos permite, algunas veces, abreviar el lenguaje geométrico y en general de la teoría que estemos trabajando. éstas proposiciones se llaman definiciones. Luego, las definiciones, tampoco se demuestran y algunas veces (sino la mayoría) se acompañan de comentarios o ejemplos para aclarar su idea o significado.

Las proposiciones principales las llamaremos teoremas, éstos si deben demostrarse y/o establecerse a través a partir de los axiomas y las definiciones. Existe, además otros tipos de proposiciones que también se demuestran y aunque no hay un orden establecido, en el que deberían presentarse, se suelen organizar como sigue:

1. Lema. Los lemas suelen ser proposiciones auxiliares que se demuestran antes de los teoremas principales. Éstos pueden proporcionar resultados intermedios o pasos clave en la demostración del teorema principal.

2. Corolario. Los corolarios son proposiciones que suelen deducirse directamente (o fácilmente)  de un teorema previamente demostrado. También suelen ser resultados inmediatos o consecuencias directas del teorema principal y, por lo tanto comúnmente se presentan después de él.

3. Observación. Comúnmente son proposiciones de poca monta o relativamente obvias que pueden servir de ayuda para demostrar algún resultado principal o para demostrar algún paso intermedio durante la demostración de algún teorema o proposición importante.

4. Afirmación. Suelen ser resultados parecidos a las observaciones, resultados de poca monta, que pueden servir de apoyo para aclarar algún paso intermedio durante alguna demostración.

Ya mencionamos las proposiciones que suelen aparecen en matemáticas, principalmente se consideran, los teoremas, los lemas y los corolarios. Las observaciones y las afirmaciones pueden variar en su ubicación dentro de algún contexto matemático, ya que no hay algún orden establecido como sucede con los lemas, teoremas y corolarios. También las afirmaciones y las observaciones se pueden presentar como comentarios adicionales o como aclaraciones sobre los conceptos o resultados presentados, aunque no son necesariamente elementos formales de la argumentación matemática, pero pueden ser valiosas para complementar, aclarar y enriquecer la argumentación.

1. Introducción : Geometría Moderna I

 En todo lo que nos rodea podemos ver colores, tamaños y formas. Luego podemos considerar, en el estudio de la geometría, como formas básicas a el punto, la recta y el plano. Cabe mencionar que a éstos tres objetos no se les define. Es interesante este respecto pues diversos autores dan alguna definición, sin embargo, por razones muy profundas de razonamiento matemático, es mucho más provechoso no definir éstos objetos.

Existen diversos tipos de geometrías, para ejemplificar este comentario podemos nombrar a la geometría algebraica, la geometría diferencial, la topología (que también es considerada un tipo de geometría), la geometría hiperbólica, la geometría elíptica y en particular la geometría plana o geometría plana euclidiana que es la que estudiaremos y que trata sobre puntos, rectas, planos, ángulos, etc. La geometría euclidiana se considera como la geometría más básica y antigua, pues ya los griegos en tiempos antes de Cristo la estudiaban con toda rigurosidad, aunque ahora hemos dado por llamarle Geometría Moderna. Para poder acceder, de manera correcta a su estudio (y en general al estudio de las matemáticas), debemos comenzar por comprender las bases del razonamiento que se emplea. Éste razonamiento está organizado de una manera muy cuidadosa (ya lo hizo Euclides en sus Elementos), de tal forma que si no seguimos este camino ordenado entonces nuestros avances serán mayormente infructuosos pues no podremos comprender la teoría y razonar a fondo. Una de las ventajas de aprender este camino es que en la mayor parte de las matemáticas formales aparece y por lo tanto nos será de ayuda todo el tiempo tanto para comprender como avanzar. Este proceso es importante porque lo que está de fondo es la demostración. La demostración en gran parte de las matemáticas es el objetivo principal pues es lo que nos permite un estudio detallado y profundo de la matemática, así como su comprensión.

Desde la geometría plana (o euclidiana) podemos llevar a cabo el desarrollo de las habilidades necesarias para comprender el proceso de la demostración e iniciar de la mejor manera nuestro estudio en la geometría y en general de las matemáticas.

Para llevar a cabo el proceso de la demostración, de manera efectiva en matemáticas, se necesita lo siguiente:

1. Comprensión profunda del tema. Es decir que se deben de comprender y asimilar los conceptos o principios fundamentales relacionados con la teoría o el problema en cuestión.

2. Pensamiento lógico y analítico. Es decir, desarrollar la habilidad para reconocer patrones, aplicar reglas y deducir conclusiones basadas en premisas o proposiciones.

3. Comunicación de manera ordenada. Es decir desarrollar la habilidad para ser capaz de explicar los pasos y argumentos de manera coherente y comprensible, utilizando un lenguaje matemático adecuado.

4. Creatividad y pensamiento crítico. La capacidad de pensar de manera creativa, intuitiva y crítica es fundamental para desarrollar demostraciones y encontrar soluciones.

5. Práctica y dedicación. La habilidad para realizar demostraciones matemáticas mejora con la práctica y la dedicación continua.

Tal vez el punto 1 y 5 dependan más del estudiante que de otros factores como el material de estudio, el profesor, etcétera, sin embargo los puntos 2, 3 y 4 se pueden desarrollar en gran medida mediante el estudio de la geometría plana. 

El presente curso pretende sentar las bases como material de estudio que ayude al alumno a introducirse en el estudio de la geometría plana euclidiana y en general en el estudio de la matemática, en los puntos 2, 3 y 4, además de conformar un texto que sea accesible, efectivo y satisfactorio (para el estudiante) que se complemente con las clases presenciales que se llevarán a cabo en la Facultad de Ciencias de la UNAM. ¡Sean bienvenid@s!