Ejercicios.

      1. Decir: ¿Cuáles son las tres propiedades fundamentales que caracterizan a todos los triángulos? Enunciar con claridad los teoremas (1), (4) y (5) del texto. Nótese que los triángulos que se consideran son siempre rectilíneos.

     2. Demostrar el teorema (1): En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a 2 rectos, o sea 180°. Hacer la figura y precisar los detalles de la demostración.

     3. Demostrar el teorema (2), consecuencia de (1): En todo triángulo un ángulo externo es igual a la suma de los dos interiores que no le son adyacentes. Consecuencia del anterior: La suma de los tres ángulos externos de un triángulo vale 4 rectos, o sea 360°.

     4. En la figura 30 (a) (figura pendiente) se tiene: x=105°, c=55°. Calcular los ángulos A y B. Respuesta: B=75°, A=50°. ¿Por qué? Comprobar.

     5. Enunciar y demostrar la propiedad fundamental del triángulo isósceles: teorema (3) del texto. Hacer la figura y precisar los detalles de la demostración.

     6. En la figura 30(b) (figura pendiente), el triángulo ABC es isósceles: AB=AC. Si B=70°, contestar: ¿Cuánto miden los ángulos C y A? Respuesta: C=    ; A=40. ¿Por qué? Comprobar.

     7. En la misma figura 30(b), suponer A=48°. Contestar: ¿Cuánto miden B y C? Respuesta: B=C=   . ¿Por qué? Comprobar.

     8. Demostrar el teorema (4) del tecto; la demostración se basa en el teorema (3); pero a su vez (3) se deduce de (4). Explicar: ¿Por qué decimos que ambos teoremas son equivalentes?

     9. Demostrar el teorema (5) del texto. Contestar: ¿Puede construirse un triángulo cuyos lados midan 8, 9 y 22 metros?

     10. Demostrar el teorema que dice: En todo triángulo, a menor lado se opene menor ángulo, y recíprocamente. Hacer la figura.

     11. Corolarios de los teoremas anteriores: ¿Puede haber un triángulo con dos ángulos obtusos o con un recto y un obtuso? ¿Cómo son entre sí los ángulos de un triángulo equilátero? ¿Cuánto mide cada uno de esos ángulos?... Explicar claramente las respuestas.

    12. En todo triángulo rectángulo (que tiene un ángulo recto) los dos ángulos agudos son complementarios, suman 90°; la hipotenusa o lado opuesto al ángulo recto es el mayor lado;...

     13. Enunciar (y justificar) los tres casos de igualdad de triángulos. Ilustrar con figuras los tres casos citados.

     14. Apoyarse en los casos de igualdad de triángulos para demostrar del teorema (3) que enuncia la propiedad fundamental del triángulo isósceles, figura 22 (figura pendiente). (a) Suponer AC=BC. Si CX bisecta el ángulo C, el triángulo ABC queda descompuesto en dos triángulo iguales; de donde resulta A=B. (b) Suponer A = B. Si CX es perpendicular al lado AB, obtenemos de nuevo dos triángulos iguales; de donde resulta AC=BC.

     15. Enunciar los tres casos de semejanza de triángulos y deducir el teorema de Pitágoras (para triángulos rectángulos) que dice: ... Estudiar detenidamente el párrafo #12 del tecto.

     16. En un triángulo rectángulo ABC, con C=90°, la hipotenusa mide 13 metros; un cateto mide 5 metros. ¿Cuánto mide el otro cateto? Aplicar el teorema de Pitágoras. Respuesta: x=12 metros. Comprobar.

     17. Cuadriláteros convexos: Trate el lector de establecer o demostrar las propiedades de los paralelogramos que se mencionan en el párrafo número 13 del texto, incluyendo rectángulo y rombo.

     18. ¿Qué es un polígono convexo? ¿Cuántas diagonales pueden trazarse desde cada vértice de un polígono convexo? ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono convexo? ¿Cuál es el polígono convexo cuyos ángulos interiores suman 720°?

     19. Demostrar que los ángulos externos de todo polígono convexo suman 360°. En particular, considerar triángulos, cuadriláteros,...

     20. Contestar: ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 13 lados? ¿Cuántas tiene uno de 17 lados? ¿Qué polígono tiene doble número de diagonales que de lados? ¿Cuál tiene 25 diagonales más que lados? Comprobar las respuestas.

14. Algo sobre polígonos.

 En la figura 28 (a9 (figura pendiente) vemos una poligonal o línea quebrada. Si la poligonal se cierra tenemos un polígono, figura 28 (b) (figura pendiente).

     Un polígono convexo tiene todos sus ángulos interiores convexos (<180°). Un polígono cóncavo, como el de la figura 28 (b) (figura pendiente), tiene por lo menos un ángulo interior cóncavo (>180°). Finalmente, se llam estrellado un polígono cuyos lados se cruzan. Los polígonos de la figura 29 (figura pendiente) con cuadriláteros, porque tienen cuatro lados. El de la izquierda es covexo, el de en medio es un cóncavo y el de la derecha es estrellado.

     Se supone que el contorno de cada polígono se recorre en un sentido convenido, como en la figura 29 (figura pendiente), yendo del vértice A al vértice B, del B al C, del C al D y del D al A. Desde cada vértice se pueden trazar diagonales a los vértices restantes, excepto al anterior y al posterior. Por ejemplo, en un cuadrilátero se puede trazar solamente la diagonal AC desde el vértice A, figura 29 (figura pendiente).

     En un polígono convexo de n lados, desde cada vértice podemos trazar n-3 diagonales que descomponen el polígono en n-2 triángulos. Ilustrarlo con el cuadrilátero, donde n=4, n-3=1 diagonal; el cuadrilátero se descompone en n-2=2 triángulos. Considerar también el caso del pentágono, donde n=5 y hay desde cada vértice n-3=2 diagonales que descomponen al pentágono en n-2=3 triángulos. Hacer un dibujo para verlo.

     (1) Suma de los ángulos interiores de un polígono convexo.

     Como el polígono se descompone en n-2 triángulos, al trazar las diagonales desde uno de sus vértices, y como los ángulos interiores de cada triángulo suman 180° y los del polígono suman tanto como los de nos n-2 triánglos que lo forman, se concluye que la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados vale; 180°(n-2). Hacer la demostración detalladamente en el cado del cuadrilátero (n=4) y del pentágono (n=5).

     (2) Número de diagonales de un polígono.

     Si el polígono tiene n lados, desde cada vértice podemos trazar n-3 diagonales, y como son n los vértices, trazaremos así n(n-3) diagonales. Ahora bien, cada diagonal será trazada dos ceces (por ejemplo, del vértice A al vértice D y viceversa) lo que significa que el número real de diagonales es: n(n-3)/2.

     El mismo problema puede resolverse por análisis combinatorio, así; Los vértices del polígono son n puntos del plano, por los cuales podemos trazar n(n-1)/2 rectas (combinaciones de n puntos tomados de 2 en 2). Si descontamos los n lados del polígono, tendremos: n(n-1)/2-n = n(n-3)/2 diagonales.

     Ejemplo (1). ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 7 lados? Respuesta: Tenemos n=7, y el número de diagonales es:

     7(7-3)/2=14 diagonales.

     Ejemplo (2). ¿Cuál es el polígono que tiene 12 diagonales más que lados? Respuesta: Si el número de lados es n, el de diagonales debe ser n+12 y se tiene la ecuación:

     n(n-3)/2=n+12 por lo tanto n*n-5n-24=0.

      Raíces de esta ecuación: n=8, n=-3. La primera conviene al enunciado del problema, lo que significa que el polígono pedido es el octágono, de 8 lados, La segunda raíz debe desecharse. ¿Por qué?

     Comprobación: con n=8 las diagonales son 8(8-3)/2=20= 8+12. Hay 12 diagonales más que lados en un octágono. 

13. Cuadriláteros convexos.

 Dibujar los siguientes cuadriláteros y trazar las diagonales:

    (a) Un paralelogramo: que está formado por dos pares de lados paralelos. En todo paralelogramo son iguales los ángulos opuestos; también los lados opuestos son iguales. Cada diagonal divide al paralelogramo en dos triángulos congruentes; el punto medio de la diagonal es un centro de simetría para esos dos triángulo. Las dos diagonales se cortan en su punto medio.

     (b) Un rectángulo, que es un paralelogramo con sus cuatro ángulo rectos. Cada diagonal divide al rectángulo en dos triángulos rectángulos congruentes. Las dos diagonales tienen igual longitud.

     (c) Un rombo, que es un paralelogramo con sus cuatro lados iguales. Este tiene dos diagonales perpendiculares.

     (d) Un cuadrado, que es un paralelogramo con sus cuatro ángulos iguales y sus cuatro lados iguales. El cuadrado es (a la vez) rectángulo y rombo. Por lo tanto, tiene sus dos diagonales iguales y perpendiculares.

     Razonar sobre cada una de las figuras citadas, para convencerse de que son válidas todas las propiedades que acabamos de enunciar.

12. Teorema de Pitágoras.

 En la figura 27(figura pendiente) vemos un triángulo rectángulo ABC, cuya hipotenusa es AB. Desde el vértice C del ángulo resto, trazar la altura CH, perpendicular a la hipotenusa; de modo que el punto H divide la hipotenusa en dos segmentos aditivos, AH y HB, cuyo producto es igual al cuadrado de la altura considerada. Es decir la altura bajada sobre la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentso en que se divide a la hipotenusa.

     En símbolos: OH*OH = AH*HB

     El segmento AH es la proyección sobre la hipotenusa del cateto AC; mientras que HB es la proyección sobre la hipotenusa del cateto CB. Para estos catetos y sus proyecciones se cumple lo siguiente: la longitud de cada cateto es media proporcional entre toda la hipotenusa y su proyección sobre la propia hipotenusa.

     En símbolos: AC*AC=AB*AH

                          CB*CB=AB*HB.

     Para demostrar todo lo anterior, empecemos por notar que la latura divide al triángulo dado en dos triángulos rectángulos que son semejantes entre sí, por ser semejantes al triángulo dado. Comparemos el triángulo AHC (izquierda, figura pendiente) con el triángulo original ABC. Estos dos triángulos tienen cada uno un ángulo recto y un ´nagulo agudo común: el ángulo A. Por lo tanto, tienen igual su otro ángulo agudo: β= B. Se trata, pues, de dos triángulos semejantes. Y de igual manera se prueba (hacerlo) que el triángulo CHB (derecha, figura pendiente) es semejante al triángulo original ABC.

     En los triángulos semejantes AHC y CHB, tomar la razón o cociente de los lados homólogos, para obtener:

     AH/HC=HC/HB por lo tanto CH*CH=AH*HB.

     En los triángulos semejantes ABC y AHC, tomar la razón o cociente para obtener:

     AB/AC=AC/AH por lo tanto AC*AC=AB*AH.

     Finalmente, en los triángulos ABC y CHB, tomar la razón o cociente de los lados homólogos, para obtener:

     AB/CB=CB/HB por lo tanto CB*CB=AB*HB. 

     Hemos demostrado lo prometido. Sin dificultad podemos deducir ahora el famoso teorema de Pitágoras para el triángulo ABC, con sólo sumar miembro a miembro las dos últimas igualdades obtenidas:

     AC*AC+CB*CB=AB(AH+HB)=AB*AB por lo tanto AC*AC+CB*CB=AB*AB.

     Es decir: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

11. Semejanza de triángulos.

 Dos triángulos semejantes tienen sus ángulos respectivamente iguales, pero no necesariamente sus lados.

     Los lados opuestos a ángulos iguales se llaman lados homólogos. En dos triángulos semejantes los lados homólogos son proporcionales, como se ve en la figura 26 (figura pendiente), donde A=A', B=B', C=C'. Los lados homólogos son proporcionales.

     Los tres casos de semejanza de triángulos son:

     (1) Cuando tienen sus tres ángulos respectivamente iguales.

     (2) Cuando tienen dos lados proporcionales formando un ángulo igual.

     (3) Cuando los tres lados de uno de ellos son proporcionales a los lados del otro.

     La semejanza de figuras puede ser también directa o inversa. Y los tres casos de semejanza de triángulos se aplican indistintamente a ambos tipos de semejanza.

10. Igualdad de triángulos.

 Agreguemos a nuestra lista de axiomas las tres propisiciones que siguen, que enuncian los tres casos de igualdad o congruencia de triángulos.

     (1) Dos triángulos son iguales cuando tienen un lado igual adyacente a dos ángulos respectivamente iguales, figura 25(a) (figura pendiente).

     (2) Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados respectivamente iguales formando un ángulo igual, figura 25(b) (figura pendiente).

     (3) Dos triángulos son iguales cuando tienen sus tres lados respectivamente iguales.

     La igualdad o congruencia de dos figuras planas puede ser directa e inversa. Es directa cuando podemos mover una de ellas, sin deformarla y sin sacarla del plano, hasta hacerla coincidir son la otra. Es inversa cuando se necesita sacar una figura del plano, y voltearla sin deformarla, para llevarla a coincidir con la otra.

     Los tres casos de igualdad de triángulos se refieren indistintamente a la igualdad directa o inversa de esas figuras.