17. La circunferencia.

 Es el lugar de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado centro de la circunferencia. Todos los segmentos de recta que van del centro a puntos de la circunferencia se llaman radios; todos ellos tienen la misma medida, llamada longitud del radio. En la figura 35(pendiente) el segmento AB es una cuerda.

     En la misma figura vemos una circunferencia cuyo centro es el punto O. La recta XY que pasa por el centro es un diámetro. Si trazamos los radios OA y OB formando ángulos iguales (α = α) con el diámetro XY, al doblar la figura según el diámetro, el radio OB viene a coincidir con OA y el punto B cae sobre A. Este razonamiento prueba que todo punto de la circunferencia, de un lado del diámetro, es simétrico de otro punto de la circunferencia, del otro lado del diámetro.

     Conclusión: Todo diámetro de una circunferencia es un eje de simetría de la curva. Además, el diámetro XY parte el arco AB en dos partes iguales y también divide en partes iguales la cuerda AB. Esto último resulta de que el punto donde se cortan la cuerda y el diámetro permanece fijo al doblar la figura, mientra que B viene a coincidir con A. Por lo tanto, al doblar la figura, la parte derecha de la cuerda AB se sobrepone a la parte izquierda de dicha cuerda, lo que dice bien que ambas partes son iguales.

     (Esto se deduce también de la propiedad fundamental del triángulo isósceles- en la figura 35(pendiente), el triángulo AOB es isósceles-. Porque, siendo OY la bisectriz del ángulo AOB, tal bisectriz es perpendicular al lado opuesto AB y lo divide en dos partes iguales).

     Dada una circunferencia de centro O, podemos imprimirle una rotación en torno del centro, sin que deje de sobreponerse a ella misma. En particular, la circunferencia queda sobre sí misma después de girar en su plano un ángulo llano = 180° en torno del centro O. Esto significa que el centro de una circunferencia es su centro de simetría.

     De la simetría con respecto al centro y a uno cualquiera de sus diámetros se infieren para la circunferencia los siguientes corolarios:

     (1) Ángulos centrales iguales abrazan arcos iguales y recíprocamente.

     (2) Arcos iguales determinan cuerdas iguales y recíprocamente.

     (3) El diámetro perpendicular a una cuerda divide la cuerda y el arco subtendido en dos partes iguales. 

     Una ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia. Pero un ángulo inscrito tiene su vértice sobre la curva y sus lados son secantes que abrazan un arco.

     Teorema: En toda circunferencia, un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central opuesto al mismo arco.

     En la figura 36(pendiente), el ángulo CAB = α es un ángulo inscrito que abraza el mismo arco BC que el ángulo central COB = ω. El triángulo CAO es isósceles y tiene por eso dos ángulos iguales: α=α. El ángulo ω es un ángulo extremo de ese triángulo y por eso ω = α + α = 2α. Se concluye que α = ω/2.

     En la figura 36(pendiente) se supone que el aldo AB del ángulo inscrito pasa por el centro O de la circunferencia, pero esta restricción puede salvarse como se ve en las figuras 37 (a) y (b) (pendientes).

     Es fácil demostrar que la tangente a la circunferencia en uno de sus puntos (punto de contacto) es perpendicular al radio en ese punto, con sólo admitir que la circunferencia tiene una tangente y sólo una en cada punto.

     En la figura 38(pendiente), la secante AB es perpendicular al radio OR: los puntos A y B son simétricos respecto del radio OR. Si la secante se desplaza hacia arriba, manteniéndose perpendicular al radio, los puntos A y B se acercan simultáneamente al punto B. En el momento mismo en que A y B coinciden con R, la secante se convierte en tangente a la circunferencia en ese punto. Conclusión: la tangente es perpendicular al radio que va del centro al punto de contacto.

     Se sigue el teorema que dice: el ángulo formado por una tangente y una cuerda, con vértices en el punto de contacto, es la mitad del ángulo central opuesto al arco que subtiende la cuerda.

     En la figura 39(pendiente), la mitad del ángulo central opuesto al arco que subtiende la cuerda RP, es ROM=ω. El ángulo que forman la tangente y la cuerda es PRT= φ. Hemos de probar que ω = φ. Ahora bien, como el radio OM es perpendicular a la cuerda RP y OR es perpendicular a la tangente RT, se sigue que:

                     α + φ = 90°=α + ω. Por lo tanto: ω = φ.

     De este teorema se sigue a su vez que la tangente RT es perpendicular al radio OR, es decir al diámetro RS, figura 39 (pendiente). Porque el diámetro RS, que es una cuerda, subtiende un ángulo de 180° y el ángulo que forman RS y RT debe ser la mitad de 180°, que es = 90°.

16. Rectas notables en el plano de un triángulo.

 Vamos a considerar cuatro clases o familias de rectas -entre las que pueden considerarse- asociadas con un triángulo y situades en su plano:

     (a) las tres bisectrices de los ángulos interiores del triángulo.

     (b) las tres mediatrices de los lados del triángulo: cada mediatriz es perpendicular a un lado en su punto medio.

     (c) las tres medianas del triángulo: cada mediana pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto.

     (d) las tres alturas del triángulo: cada altura pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto.

     En el triángulo equilátero las tres bisectrices se confunden con las tres mediatrices, con las medianas y las alturas. ¿Por qué? Lo que significa que estas cuatro clases de rectas se reducen a una sola clase, formada por tres rectas. 

      Teorema. Las tres bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo concurren en un punto I, que es el centro del círculo inscrito al triángulo, figura 33(pendiente). 

     El punto I donde se cortan la bisectriz AX del ángulo A y la bisectriz BY del ángulo B, -esquidista de los tres lados del triángulo.- Por pertenecer a la bisectriz AX, equidista de los lados AB y AC. Por pertenecer a la bisectriz BY, equidista de los lados AB y BC.- Por lo tanto, I equidista de CA y CB, y  por eso pertenece a la bisectriz CZ. Si, tomando por radio la distancia del punto I a uno de los lados del triángulo, trazamos una circunferencia con ese radio, entonces dicha circunferencia viene a ser tangente a los tres lados. Hacerlo.

     Esto significa que la circunferencia está inscrita en el triángulo o que el triángulo está circunscrito a la circunferencia.

     Teorema. Las tres mediatrices de los lados de un triángulo concurren en un punto que equidista de los tres vértices del triángulo. Ese punto O es el centro del círculo circunscrito al triángulo.

     Demostración enteramente análoga a la anterior. 

     Se puede probar también que las tres medianas concurren en un punto, llamado centroide del triángulo, y que las tres alturas concurren a su vez en el ortocentro del triángulo. 

     Para el caso de las medianas podemos hacer un razonamiento intuitivo de orden físico. Suponer que el triángulo está hecho de una fina lámina homogénea de metal, figura 34(pendiente). Si escogemos una tira muy estrecha PQ de la lámina, paralela a la base AB, el centro de gravedad de la tira PQ queda sobre la mediana CM. Y si todo el triángulo se supone formado de tiras como PQ, paralelas a la base AB, se comprende que el centro de gravedad de todo el triángulo está sobre la mediana CM. El mismo razonamiento prueba que el centro de gravedad está sobre las otras dos medianas; lo que quiere decir que las tres medianas concurren en el centro de gravedad del triángulo. Ahora bien, como el triángulo no es un ente físico, sino un ente geométrico desprovisto de masa, al supuesto centro de gravedad le llamamos simplemente centroide.

15. Lugares geométricos.

 Se llama lugar geométrico toda recta o curva definida por una propiedad común a todos sus puntos.

     Demostraremos esto: La mediatriz de un segmento de recta es el lugar de los puntos que equidistan de los extremos del segmento.

     Hemos de probar dos cosas: (1) que todo punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento, y (2) que si un punto equidista de los extremos del segmento, ese punto pertenece a la mediatriz.

     (1) Suponer que el punto M  pertenece a la mediatriz MX del segmento AB, figura 31(figura pendiente). El punto O divide al segmento AB en dos pates iguales: OA=OB. L mediatriz MX pasa por O y es perpendicular al segmento AB. Se comprende que la mediatriz es un eje de simetría del segmento AB, y al doblar la figura según MX, el punto B viene a coincidir con A y el segmento MB, a coincidir con MA. Por eso: MB=MA.

      (2) Si MB=MA entonces tenemos en la figura 31(figura pendiente) un triángulo isósceles y al trazar la bisectriz del ángulo AMB, ésta viene a ser la mediatriz del segmento AB. Ver la demostración del teorema (3), párrafo #9. La hipótesis MA=MB implica que M pertenece a la mediatriz del segmento AB.

     Demostraremos esto: La bisectriz de un ángulo es el lugar de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo. Hemos de probar dos cosas: (1) que todo punto M de la bisectriz equidista de los lados del ángulo, y (2) que todo punto M que equidista de los lados del ángulo pertenece a la bisectriz.

      (1) Suponer que el punto M pertenece a la bisectriz AX del ángulo PAQ figura 32(figura pendiente). Por hipótesis α = β. Los segmentos MP y MQ son perpendiculares a los lados AP y AQ del ángulo dado. Y se cumple:

                    α = β

                    α + φ = 90°

                    β + ω = 90°.

Por lo tanto ω = φ.

     La recta AX es también bisectriz del ángulo PMQ. Los dos triángulos APM y AMQ son iguales, por tener un lado (común) igual, AM=AM, adyacente a ángulos respectivamente iguales. Y como en triángulos iguales son iguales los lados opuestos a ángulos iguales, concluimos que MP=MQ.

     De otro modo: la bisectriz AX es un eje de simetría de la figura 32 (pendiente) porque α = β y φ = ω. Por lo tanto, al doblar la figura según AX el segmento MP viene a coincidir con MQ. Lo que significa: MP=MQ.

     (2) Suponer ahora que M equidista de los lados del ángulo, figura 32(pendiente). Por hipótesis MP=MQ. Bisectar el ángulo PMQ de modo que φ = ω. Al doblar la figura según XM, el punto P viene a caer sobre Q y la recta PA sobre QA. Lo que dice bien que XM pasa por A formando ángulos iguales, α = β. Por lo tanto, la recta XM es bisectriz del ángulo PAQ y el punto M pertenece a la bisectriz de ese ángulo.

     Otro lugar geométrico lo constituye la circunferencia, cuyos puntos tienen la propiedad común de equidistar de un punto fijo del plano, que es su centro. La circunferencia es una curva plana definida por esta propiedad: todos sus puntos están a igual distancia del centro.