Si consideramos un segmento AB éste puede ser divido en cualquier razón tanto positiva como negativa. Así que consideremos un punto P en el segmento. Debemos tener tres casos posibles que se analizarán con detalle.
Caso 1. El punto P se encuentra dentro del segmento.
En este caso P puede coincidir con los extremos del segmento o puede coincidir con el punto medio del segmento. Si P coincide con el punto medio del segmento AB entonces:
\(\frac{AP}{PB}\)=1.
Si P coincide con A se tiene que:
\(\frac{AP}{PB}\)=0.
P no puede coincidir con B porque el denominador se anularía, lo que daría como resultado una fracción indeterminada.
Considerando los tres casos posibles se tiene que si \(r=\frac{AP}{PB}\) entonces:
\(0\leq r\leq 1\) o \(1<r\) cuando P\(\in AB\) y \(P\neq B\) forzosamente.
Caso 2. P está fuera de AB del lado del extremo A.
Puesto que ya vimos que \(\frac{AP}{PB}=0\) siempre que \(P=A\) entonces entonces queda analizar qué pasa cuando P se aleja de A (fuera del segmento AB). En este caso se tiene que \(\vert PB\vert > \vert AP\vert\), de donde:
\(1>\frac{\vert AP\vert}{\vert PB\vert}\), si y sólo si, \(1>\vert\frac{AP}{PB}\vert\), si y sólo si, \(1>\frac{AP}{PB}>-1\). Luego como P se encuentra fuera de AB entonces \(\frac{AP}{PB}<0\). De donde:
\(-1<\frac{AP}{PB}<0\).
Caso 3. P está fuera del segmento AB más allá del extremo B.
En este caso también tenemos que: \(\vert AP\vert > \vert PB\vert\), de donde:
\(\frac{\vert AP\vert}{\vert PB\vert }>1\) o equivalentemente que \(\frac{AP}{PB}>1\) o \(\frac{AP}{PB}<-1\)
Si consideramos por ejemplo la ecuación \(ax^2+bx+c=0\) vemos que ésta tiene soluciónes. Para encontrar todas las soluciones de esta ecuación cuadrática podemos completar cuadrado. Veamos:
\(ax^{2}=-bx+c\); luego \(x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\) (si \(a\neq 0\)); completamos el cuadrado y entonces nos queda:
\((x+\frac{b}{2a})^{2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}\)
\((x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\)